02 消失的鬼魂：貝克萊悖論
在牛頓和萊布尼茨發明微積分的通用方法後，許多數學家在很多領域都應用這種方法得到了很好的結果，這進一步加強了數學界對微積分方法的信心。
但是這時卻有一位哲學家站出來，指責牛頓和萊布尼茨的微積分理論中存在基礎性的缺陷，根本是空中樓閣。他就是愛爾蘭主教貝克萊。這時，“第二次數學危機”爆發。
貝克萊是一位著名的哲學家，他的哲學觀點是“存在即被感覺”，物質是虛無的，所謂的物質實體不過是不存在的抽象概念。貝克萊後來成為一位神職人員，他嘗試調和宗教和科學的尖銳沖突，為神學建立一個新的理論基礎，同時接納神學和科學。1734年，貝克萊在擔任克羅因主教期間，在《分析學家》一書中對牛頓和萊布尼茨的微積分方法進行了強烈的批判。
貝克萊首先指出微積分中的一系列概念，如流數、瞬、消失量、最初比和最後比、無窮小增量、瞬時速度等都是相當模糊的。比如，對于瞬時速度，貝克萊認為既然速度離不開空間和時間區間，那麼根本不可能想象一個時間為零的瞬時速度。而對于無窮小量，要設想一部分無窮小量，還有比它們更小的無窮小量，而且經過無窮次相乘也永遠不能得到最微小的有限量。他認為這些說法是相當無理而荒謬的。
其次，貝克萊指出微積分方法中的一些問題。比如，在牛頓的流數術中，一些微小的變化增量在公式推導中有時為零，有時又不為零，相當靈活，這完全是不嚴謹的。貝克萊譏諷道：“這些消失的增量究竟是什麼呢？它們既不是有限量，也不是無限小，還不是零，難道我們不能稱它們為消逝量的鬼魂嗎？”萊布尼茨的方法也有類似的問題，貝克萊認為萊布尼茨依靠“忽略高階無窮小量來消除誤差”的做法是從錯誤的原理出發，通過“錯誤的抵消”而得到他想要的結論。貝克萊一口氣列出67個疑問，可謂刀刀見血。
在貝克萊看來，數學家和神學家沒有本質差別，都秉持一種信仰。他提到：“那些對宗教教義持慎重态度的數學家，對待他們自己的科學是不是也抱着那樣嚴謹的态度？他們是不是不憑證據隻憑信仰來領會事物，相信不可思議的東西呢？”
貝克萊質疑的本質是，在微積分中無窮小量究竟是否為零，因為在牛頓和萊布尼茨的方法中，無窮小量有時為零，有時又不為零。由于微積分的用處很大，數學家們普遍支援，故将貝克萊的質疑稱為“貝克萊悖論”。
與第一次數學危機的解決類似，微積分的根基不穩，反而成為推動數學持續進步的原動力。
以上摘自吳翰清新作《計算》！轉自博文視點，[遇見數學]已獲轉發許可。
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