02 消失的鬼魂：贝克莱悖论
在牛顿和莱布尼茨发明微积分的通用方法后，许多数学家在很多领域都应用这种方法得到了很好的结果，这进一步加强了数学界对微积分方法的信心。
但是这时却有一位哲学家站出来，指责牛顿和莱布尼茨的微积分理论中存在基础性的缺陷，根本是空中楼阁。他就是爱尔兰主教贝克莱。这时，“第二次数学危机”爆发。
贝克莱是一位著名的哲学家，他的哲学观点是“存在即被感知”，物质是虚无的，所谓的物质实体不过是不存在的抽象概念。贝克莱后来成为一位神职人员，他尝试调和宗教和科学的尖锐矛盾，为神学建立一个新的理论基础，同时接纳神学和科学。1734年，贝克莱在担任克罗因主教期间，在《分析学家》一书中对牛顿和莱布尼茨的微积分方法进行了强烈的批判。
贝克莱首先指出微积分中的一系列概念，如流数、瞬、消失量、最初比和最后比、无穷小增量、瞬时速度等都是相当模糊的。比如，对于瞬时速度，贝克莱认为既然速度离不开空间和时间区间，那么根本不可能想象一个时间为零的瞬时速度。而对于无穷小量，要设想一部分无穷小量，还有比它们更小的无穷小量，而且经过无穷次相乘也永远不能得到最微小的有限量。他认为这些说法是相当无理而荒谬的。
其次，贝克莱指出微积分方法中的一些问题。比如，在牛顿的流数术中，一些微小的变化增量在公式推导中有时为零，有时又不为零，相当灵活，这完全是不严谨的。贝克莱讥讽道：“这些消失的增量究竟是什么呢？它们既不是有限量，也不是无限小，还不是零，难道我们不能称它们为消逝量的鬼魂吗？”莱布尼茨的方法也有类似的问题，贝克莱认为莱布尼茨依靠“忽略高阶无穷小量来消除误差”的做法是从错误的原理出发，通过“错误的抵消”而得到他想要的结论。贝克莱一口气列出67个疑问，可谓刀刀见血。
在贝克莱看来，数学家和神学家没有本质区别，都秉持一种信仰。他提到：“那些对宗教教义持慎重态度的数学家，对待他们自己的科学是不是也抱着那样严谨的态度？他们是不是不凭证据只凭信仰来领会事物，相信不可思议的东西呢？”
贝克莱质疑的本质是，在微积分中无穷小量究竟是否为零，因为在牛顿和莱布尼茨的方法中，无穷小量有时为零，有时又不为零。由于微积分的用处很大，数学家们普遍支持，故将贝克莱的质疑称为“贝克莱悖论”。
与第一次数学危机的解决类似，微积分的根基不稳，反而成为推动数学持续进步的原动力。
以上摘自吴翰清新作《计算》！转自博文视点，[遇见数学]已获转发许可。
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