這個文章我本來沒打算寫的，因為之前我已經寫了《手撕Boost！Boost公式推導及實驗驗證》，在我看來，Buck與boost是完全類似的，明白一個，另外一個也就明白了。
不過後來還是陸續有粉絲問我有沒有buck，那麼今天就來推導下buck的公式。畢竟大家基礎也是各不相同，舉一反三有時還比較困難，有現成的更好。
如果沒看過手撕boost的，我建議可以先看看，因為有很多的前提條件在那裡面有詳盡的解釋。這些前提條件在buck裡面也是适用的，這篇文章就不會再贅述了，羅裡吧嗦也不好。
先簡要說明一下文章會說哪些内容。
1、buck的拓撲結構，工作原理
2、輸入輸出電容取值的推導過程，電感感量的計算過程
3、boost各處電壓，電流波形
4、buck，boost公式彙總
5、實際電路應用情況
Buck的拓撲結構
Buck是直流轉直流的降壓電路，下面是拓撲結構，作為硬體工程師，這個最好是能夠記下來，了然于胸。
為啥要記下來，自然是因為這個電路太基礎了，并且誰都會用到，更重要的一點，面試可能會考。。。
上圖是個異步buck，同步buck就是将裡面的二極管換成MOS管。
我用異步buck來分析的原因，就是覺得它要複雜一點，多了一個二極管導通壓降，如果異步的明白了，那麼同步的自然也明白了。
并且，根據這個拓撲推導的公式也是适用同步Buck的，隻需要讓公式裡面的二極管壓降為0即可。
首先，還是來看下工作原理。
工作原理其實非常簡單，上圖中MOS管就是一個開關，隻要這個速度夠快（開關頻率夠高），控制好導通與關斷時間（電感充放電時間），配合輸出濾波電容，就可以得到基本穩定的Vo了，也就是輸出電壓。
下面來看下兩個過程，開關導通和開關斷開。
先看開關導通
開關導通時，二極管不導通，我們看電感，電感左邊是Vi，右邊是Vo，因為是降壓，是以左邊大于右邊，那麼電感兩端電壓是Vi-Vo，為恒定值。如果把電感電流向右定義為正，那麼電感電流是線性增大的，因為L*di/dt=Vi-Vo，那麼di/dt=(Vi-Vo)/L=常數。
開關斷開時，電感要續流，會産生反向電動勢，讓二極管導通，二極管導通電壓是Vd。因為二極管陽極接地，是以陰極電壓是-Vd，也就是電感左邊的電壓就是-Vd，右邊的電壓是Vo不變，是以電感兩端電壓是-Vd-Vo。此時電感電流是線性減小的，因為L*di/dt=-Vd-Vo，di/dt=-(Vo+Vd)/L=常數，并且是負值，是以是線性減小的。
推導公式
我們推導公式，是為了選型，選擇輸入濾波電容，輸出濾波電容，電感。
那麼先把已知條件列出來
首先是輸入電壓Vi，輸出電壓Vo，輸出電流Vo/R，咱總得知道自己想要什麼吧，是以這些在設計之初都是已知的。
其次是開關頻率f，這個在晶片選型之後就是确定的了。
再然後就是設計的目标，輸入紋波大小△Vi，輸出紋波大小△Vo。
我們根據這些已知的量，就可以求得電感感量，輸入濾波電容大小，輸出濾波電容大小。
因為計算的基本原理其實就是電容和電感的充放電。是以，我們首先要求的就是開關導通的時間和斷開的時間，或者說是占空比。
這個也非常簡單，我們可以這麼想。
在開關導通的時候，電感兩端電壓是Vi-Vo。
在開關斷開的時候，輸出端電壓為Vo，二極管導通，那麼電感右側就是Vo，電感左側接的是-Vd，是以此時電感兩端電壓是Vo+Vd。
整個電路穩定之後，因為負載電流恒定，那麼一個周期時間之内，在開關導通時電感電流增加的量，要等于開關截止時，電感電流減小的量，即電感充了多少電就要放多少電，不然負載的電流或者電壓就要發生變化。
即一個周期内，電感電流增大量等于減小量。
然後又因為U=Ldi/dt，di/dt=U/L，L不變，是以電感電流變化速度與電壓成正比。
簡單說就是，電感電流上升或下降的斜率與電壓成正比。
斜率與電壓成正比，電感電流上升的高度與下降高度又相同，那上升時間不就和電壓成反比了嗎？
是以，自然就有了：
Ton/Toff=(Vo+Vd)/(Vi-Vo)
我們變換一下，就得到了江湖所傳的“伏秒法則”
再根據T=Ton+Toff=1/f
我們可以分别求得導通時間，關斷時間，占空比。
如果是同步buck，那麼Vd=0，則會見到我們經常看見的公式:
功率電感選擇
我們電感選型首先需要考慮兩個參數，電感感量和電感電流。
電感電流分為2個，平均電流IL和紋波電流△IL。
先看平均電流
顯然，輸出電壓Vo基本不變，也就是說輸出濾波電容兩端電壓沒有變化，那麼電容的平均電流為0，根據輸出節點的基爾霍夫電流定律，節點電流和為0，那麼電感的平均電流就等于負載的平均電流Io。
即IL=Io=Vo/R。
然後我們再來求電感的紋波電流△IL
從前面知道，電感電流就是個三角波，在開關導通時電感電流增大，在關斷時，電感電流減小。
那紋波電流的大小求起來就簡單了，就等于在開關導通時電感電流增大的值，也等于關斷時電感電流減小的值。
我們就計算其中一個，計算開關導通時電感電流增大了多少吧。
這個也非常easy，開關導通，電感兩端電壓是Vi-Vo，導通時間Ton前面已經求出來了。
根據U=Ldi/dt就可以求出電感電流紋波△IL=di=U/L*Ton
可以看到，電感電流的紋波跟負載電流的大小沒有關系。
同時呢，我們也很容易得到電感的峰值電流，就是電感的平均電流加上紋波電流的一半嘛，即ILp=IL+△IL/2=Io+△IL/2。
也就是：
計算這個峰值電流有什麼用呢？
電感選型時，電感的飽和電流必須大于這個ILp，并且要留一定的裕量。
現在我們已經寫出來了電感的平均電流IL，電感的紋波電流△IL，△IL應該是IL的20%-40%為宜。
即：△IL=(0.2~0.4)*IL
根據這個範圍，就能求得我們的電感值範圍了。
輸入濾波電容計算
我們在确定輸入濾波電容的時候，是有一個假設的，這個假設是什麼呢？
輸入電源預設來自遠方，是沒法提供快速變化的電流的。
實際應用中，輸入電源可能距離很遠，有了很長的走線，走線越長，寄生電感就越大，也就是說輸入電源不能快速響應這個Buck輸入電流的需求。
是以，我們在一個周期時間内，可以将輸入電源的電流看作是恒定的，穩定狀态下，這個電流也等于電源輸入的平均電流Ii，我們先求一下電源輸入的平均電流Ii。
怎麼求電源的輸入電流呢？
很簡單，使用能量守恒定律就可以了。
不考慮MOS管的損耗的話，那麼用耗電的器件有2個，一個是二極管，一個是負載R。
由工作原理可知，二極管隻在MOS開關斷開時有電流流過，其電流等于電感電流，并且一個周期内有電流流過的時間為Toff，是以二極管的平均電流也等于電感的平均電流，為IL=Io。
一個周期内二極管流過電流的時間為Toff，電流為IL，導通壓降為Vd。
是以二極管的功率為：
Pd=Vd*Io*Toff*f =Vd*Io *(Vi-Vo)/(Vi+Vd)
負載的功率是Pr=Io*Vo
電源輸入功率Pi=Vi*Ii
根據能量守恒，Pi=Pr+Pd，可以得到輸入電源的平均電流Ii為：
現在已經求出Ii，在一個周期内，電源的輸入電流可以看成恒定值，為Ii。
了解了這個前提條件，我們回到目标：計算輸入濾波電容的容量
我們先理清下思路，輸入電壓紋波就是輸入電容上面的電壓變化。電容上面的紋波變化可以分成兩個部分。
一個是電容放電或者是充電，存儲了電荷量發生了變化，這個變化會導緻電壓變化，可以用公式Q=CUq來表示，Uq即是電壓的變化。
另一個是電容有等效串聯電阻ESR，電容充放電時有電流流過，電流流過ESR會産生壓降，這個壓降用Uesr表示吧。
是以，電壓紋波應該是：
△Vi=Uq+Uesr
1、電容電荷量變化引起的壓降Uq
我們看輸入節點，這個節點的電流有3個，一個是來自電源Vi輸入的，前面說了，在一個周期内，它可以看作是恒定的，一個節點是電容，另外一個節點是開關。
根據基爾霍夫電流定律，節點電流和為0，并且電源輸入的電流恒定為Ii，那麼輸入電容電流的變化量必然等于開關電流的變化量，因為最終3者的和為0。
也就是說，開關斷開時，開關電流為0，那麼電源輸入的電流全都流進輸入電容，電容被充電，此時電容的充電電流為Ii。而開關導通時，電感需要續流，這個電流由電源輸入和輸入濾波電容二者共同提供，電容此時放電。
并且，開關切換的時候，開關電流是突變的。而三者電流和為0，那麼電容的電流必然也是突變的。
我們畫出三者的電流波形如下：
一個周期内，電容的充電電荷量和放電電荷量必然一樣，我們計算出其中一個就行了。
顯然，充電的時候更好計算，因為充電時開關斷開，電容的電流就是電源的輸入電流，是恒定的，為Ii。
根據Q=I*t，那麼充入的電荷量為Q=Ii*Toff，電容充入電荷，會導緻電壓變大，這個電壓的增量這裡取個名字叫Uq，那麼Q=Uq*C，也就是Uq=Q/C=Ii*Toff/C
最終可以求得Uq
2、電流流過電容的ESR造成的壓降Uesr
想要知道ESR造成的紋波大小，我們隻需要知道流過電容的電流就知道了，因為電壓等于電流乘以ESR。
我們把電容的電流波形單獨畫一下。
這個波形下面解釋下：
在開關斷開的時候，電源輸入電流Ii全部進入輸入濾波電容，因為li恒定，是以輸入濾波電容的電流就是恒定為li，此時電容充電，如果我們把充電電流定義為正，那麼電流就是+li。
在開關導通之後，電感原本從二極管續流，變成了從MOS管續流，因為之前電感一直在放電，是以切換時電感電流最小，等于IL-△IL/2，在整個Ton時間段内，電感是被充電的，是以電感電流一直在增大，直到達到峰值電流IL+△IL/2。
并且在Ton時間内，電感電流走的是MOS管通路，是以，Mos管電流最大也是IL+△IL/2。根據輸入節點電流和為0，這個電流等于輸入電源電流Ii和濾波電容的放電電流，是以濾波電容的最大放電電流為IL+△IL/2-Ii。因為前面定義了充電電流為正，那麼放電電流就為負，即濾波電容電流是：-(IL+△IL/2-Ii)。
知道了電流，ESR，那麼我們就知道了紋波大小。
在開關斷開時，ESR上面産生的壓降是恒定的，為：Ii*ESR
在開關導通後，ESR上面産生的最大壓降是：-(IL+△IL/2-Ii)*ESR
兩者相減，得到的就是一個周期内ESR引起的紋波大小，也就是：
Uesr=(IL+△IL/2)*ESR
計算過程如下：
好，我們已經算出Uesr和Uq。
那麼根據△Vi=Uesr+Uq，我們就可以△Vo的表達式了，如果知道△Vo，我們也能得到輸入濾波電容Ci的大小或者是ESR了。
輸入總的紋波公式：
這個公式看着有點複雜，有兩個參數都跟電容本身有關系，ESR和容量Ci。
考慮到我們的電容實際使用情況
陶瓷電容ESR小，容量小，Uq對紋波起決定作用，是以輸入紋波電壓可以近似為Uq，如果我們要限定紋波不能大于△Vi，那麼Uq≤△Vi。
鋁電解電容容量大，ESR大，Uesr對紋波起決定作用，是以輸入紋波電壓可以近似Uesr，如果我們要限定紋波不能大于△Vi，那麼Uesr≤△Vi
根據上面兩點，我們就可以去選擇合适的電容了。
陶瓷電容根據容量值去選
鋁電解電容根據ESR去選
好，現在輸入電容的理論計算已經搞定了，我們接着看輸出濾波電容。
輸出濾波電容
相比輸入紋波△Vi大小，我們可能更關心輸出紋波△Vo的大小，畢竟是要帶負載的。同樣，紋波由電容容量和ESR決定。
1、電容電荷量變化引起的Uq
我們看輸出節點，這個節點的電流有3個，一個是來自負載的，它可以看作是恒定的，為Io=Vo/RL，一個節點是輸出濾波電容，另外一個節點是電感。
根據基爾霍夫電流定律，節點電流和為0，并且負載的電流恒定，那麼電感電流的變化量必然等于電容電流的變化量，因為最終3者的和為0。
我們畫出三者的電流波形如下：
根據節點電流和為0，那麼輸出電容的電流變化就是功率電感的電流變化（你增大時我減小，你減小時我增大）。我們從上圖也可以很直覺的看出來。
顯然，電容電流大于0時，電容在充電，電容電流小于0時，電容在放電。并且圖中也可以看到，電容充電和放電時間長度是一樣的，都是周期的一半，T/2。
那充放電的電荷量是多少呢？
從前面知道，輸出電容的電流變化就是功率電感的電流變化，因為電感的紋波電流是△IL，那麼電容的紋波電流也是 △IL。又因為電容的平均電流是0，是以電容的充電電流和放電電流都是△IL/2。
需要注意，電容電流是在大于0時充電，電流小于0時放電，也就是圖中陰影部分，充電與放電的切換的時刻并不是開關導通與斷開的時候，而是在中間時刻。
然後電容放電/充電的總電荷量Q等于電流乘以時間，這不就是圖中陰影三角形的面積嗎？
三角形底部是時間，充電/放電時間等于T/2
三角形的高為電感紋波電流的一半，△IL/2。
是以總放電量為Q=1/2*底*高
再結合Q=CUq，即可求得Uq了。
具體計算如下圖所示：
2、電流流過電容的ESR造成的壓降Uesr
前面波形圖知道，電容的充電電流最大是△IL/2，放電電流最大就是-△IL/2，負号表示電流方向，方向的不同，引起的壓降的電壓也是相反的。
那麼ESR引起的總的壓降是：
Uesr=△IL/2*ESR-(-△IL/2*ESR)=△IL*ESR
最終，我們求得Uesr的公式如下：
好，我們已經算出Uesr和Uq，那麼根據△Vo=Uesr+Uq，就可以求出總的輸出紋波大小△Vo。
根據上面兩點，我們就可以去選擇合适的電容了。
陶瓷電容根據容量值去選
陶瓷電容ESR小，容量小，Uq對紋波起決定作用，是以可以近似為Uq，如果我們要限定紋波不能大于△Vo，那麼Uq≤△Vo
鋁電解電容根據ESR去選
公式到這裡就基本推完了。
公式彙總
下面把Buck所有的公式彙總下，如下圖：
之前寫過boost的公式推導，不過沒彙總公式，現在也彙總如下：
實際電路應用
公式現在都已經推出來了，這些公式都是從拓撲結構裡面推出來的，我們也會在很多晶片手冊中看到這些公式，那麼我們設計時，按照這些公式選擇電容可以嗎？
答案是：no，no，no！
原因在于，實際我們使用的器件都不會是理想的。
就陶瓷電容來說，一個直流偏壓特性，可能就使得電容實際容量隻有标稱值的30%甚至更低。
還有電容會有ESL等參數，電路本身還有會其它的損耗等等，這些都會使得buck/boost實際輸出與理論推導有較大的出入。
雖然這些公式不能直接套用，但是我們根據它們也能大緻知道是個什麼情況，是以其作用還是有的，我們設計時也需要去算一算的。
這些因素具體有多大的威力，以及實際電路該如何考量。因為我在之前的《手撕Boost！Boost公式推導及實驗驗證》一文中，進行了大量的實驗以及分析，現在就不再說了，有興趣可以去翻一翻。