在數學曆史上有很多公式都是歐拉（Leonhard Euler)發現的，它們都叫做歐拉公式，分散在各個數學分支之中。
歐拉13歲進入瑞士巴塞爾大學讀書，15歲獲得學士學位，16歲又獲得巴塞爾大學哲學碩士學位，轟動了當時的科學界。但是，他的父親卻希望他去學神學。直到小歐拉19歲時獲得了巴黎科學院的獎學金之後，父親才不再反對他讀數學。歐拉是一位創作性超群的數學家，後來從瑞士轉赴俄國和德國工作，是以三個國家都聲稱他是本國的科學家。
有許多關于歐拉的傳說。比如，歐拉心算微積分就像呼吸一樣簡單。有一次他的兩個學生把一個複雜的收斂級數的17項加起來，算到第50位數字，兩人相差一個機關，歐拉為了确定究竟誰對，用心算進行全部運算，最後把錯誤找了出來。 歐拉創作文章的速度極快，通常上一本書還沒有印刷完，新的手稿就寫好了，導緻他的寫作順序與出版順序常常相反，讓讀者們很郁悶。而且，收集這些數量龐大的手稿也是一件困難的事情。瑞士自然科學會計劃出一部歐拉全集，這本全集編了将近100年，終于在上個世紀90年代基本完成，沒想到聖彼得堡突然又發掘出一批他的手稿，使得這本全集至今仍未完成。歐拉28歲時一隻眼睛失明了，後來另一隻眼睛也看不見了，據說是因為操勞過度，也有一說是因為觀察太陽所緻。盡管如此，他仍然靠心算完成了大量論文。
下面來看看歐拉公式中最著名和優美的一個。
拓撲學的歐拉公式描述了多面體頂點(Vertex)，邊(Edge)和面(Face)之間的關系:
V - E + F = X
其中，V是多面體的頂點個數，E是多面體的棱的條數，F是多面體的面數, X是多面體的歐拉示性數(Euler characteristic)。
X是拓撲不變量，就是無論再怎麼經過拓撲變形也不會改變的量，是拓撲學研究的範圍。X的值依賴于幾何物體的形态和曲面的取向。
可定向性——大部分我們在實體世界中遇到的曲面是可定向的。例如平面，球面與環面是可定向的。但是莫比烏斯帶(Möbius strip)不可定向，它在三維空間中看起來都隻有一“側”。假設一隻螞蟻在莫比烏斯帶上爬行，它可以在不穿過邊界的情況下爬到曲面的另一側。
虧格(Genus)——可定向曲面的虧格是一個整數。如果沿一個幾何曲面的任意一條簡單閉合曲線切開，都能把曲面切斷，那麼這個曲線的虧格就是0。如果存在一條簡單閉合曲線在切開後，曲面沒有分成兩個部分，那麼虧格就是1。進一步的在虧格為1的曲面上切開一條曲線後，還能再找到一條這樣的曲線，那麼虧格為2。依次類推。
閉可定向曲面的歐拉示性數可以通過它們的虧格 g 來計算
X = 2 - 2 * g
例如，長方體的虧格是0，頂點為8個，邊為12個，面為6個，它的歐拉公式為
8 - 12 + 6 = 2
對于四面體，虧格為0，頂點為4個，邊為6g個，面為4個，它的歐拉公式為
4 - 6 + 4 = 2
第一個歐拉公式的嚴格證明，由20歲的法國科學家柯西( Augustin Louis Cauchy ) 給出，大緻如下:
從多面體去掉一面，通過把去掉的面的邊互相拉遠，把所有剩下的面變成點和曲線的平面網絡。不失一般性，可以假設變形的邊繼續保持為直線段。正常的面不再是正常的多邊形即使開始的時候它們是正常的。但是，點，邊和面的個數保持不變，和給定多面體的一樣(移去的面對應網絡的外部。)
重複一系列可以簡化網絡卻不改變其歐拉數(也是歐拉示性數) F − E + V 的額外變換。
1.若有一個多邊形面有3條邊以上，我們劃一個對角線。這增加一條邊和一個面。繼續增加邊直到所有面都是三角型。
2. （逐個）除去所有和網絡外部共享兩條邊的三角形。這會減少一個頂點、兩條邊和一個面。
3. 除掉隻有一條邊和外部相鄰的三角形。這把邊和面的個數各減一而保持定點數不變。
重複使用第2步和第3步直到隻剩一個三角形。對于一個三角形F = 2 (把外部數在内), E = 3, V = 3。是以F − E + V = 2。證畢。
參考資料：
http://en.wikipedia.org/wiki/Genus_%28mathematics%29
http://en.wikipedia.org/wiki/Orientability
http://baike.baidu.com/view/1681302.htm