小波變換之點對稱邊界延拓(Symmetric boundary extension)

最近在寫的論文中涉及小波變換及Symmetric boundary extension和自己的算法進行對比，于是查閱相關文章在此整理。

小波變換不清楚可以看此處

小波變換理論在信号進行中應用廣泛，特别是在圖像進行中基于小波的圖像邊緣檢測 、降噪、圖像資料壓縮和計算機圖形學等方面 。但是現實中的數字圖像信号都是有限長的, 是以應用離散小波變換時, 必須對邊界點進行特殊處理。邊界處理的目的是盡可能地保留小波濾波器組的重構性, 資料速率, 以及最大限度地減少邊塊效應。

Symmetric boundary extension

• 1.背景
• 2.點對稱延拓
• 3. 點對稱性質分析
• 4.結論
• 5.參考文獻

1.背景

目前主要有兩種做法：一種是對小波濾波器的結構進行改造，另一種是先對信号進行邊界延拓, 然後再進行濾波處理。在實際操作中應用得更多的是邊界延拓。

• 邊界延拓的方式很多, 有零填充、周期延拓、對稱延拓、點對稱延拓等。在這些延拓方式中, 周期延拓和對稱延拓在保持資料量不變的情況下, 是可以完全重構的。由于對稱延拓的邊界連續, 可以達到完全重構, 而且不像周期延拓那樣要緩存整個信号, 是以是目前對數字圖像信号作小波變換中應用得最廣泛的延拓方式。
• 對稱延拓以信号端點為對稱軸, 進行信号的邊界延拓。它是目前小波變換中使用最多的一種延拓方式, 該方法可以在保持資料量不增加的情況下達到完全重構。延拓時, 僅用到信号邊界的資訊, 不會需要很大的記憶體。由于延拓後的信号在邊界處是連續的, 該方法有利于消除邊塊效應。

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2.點對稱延拓

點對稱延拓使得邊界點在延拓後具有一階導數是連續的, 比對稱延拓更有利于消除邊塊效應。其缺點是對于偶數長度信号, 它依賴于最後一個信号的原始值, 這将破壞原有的基于小波變換的算法。但由于最後一個原始信号和小波分解低頻信号的值很接近, 故可以用兩者之差代替原始值, 盡量消除這個缺點帶來的影響。

3. 點對稱性質分析

定理1 連續函數f (x) 關于點 (x0, f (x0) ) 對稱, 則在該點一階導數連續。

證明 連續函數f (x) 關于點 (x0, f (x0) ) 對稱, 設Δx>0, 則:

f (x0-Δx) +f (x0+Δx) =2f (x0)

其左導數為:

故左導數等于右導數, 說明函數f (x) 在x=x0處的一階導數是連續的。

很多數字信号是将連續的自然信号離散化的結果, 邊界延拓中若盡量保持其光滑性, 對小波變換與重構是極為有利的。設小波濾波器為奇數對稱的, 對長度為M的離散信号序列{x0, x1, …, xM-1}點對稱延拓方式為:

4.結論

點對稱延拓具有一階導數連續性, 它對消除邊塊效應極為有利。并且在保持信号長度不變的情況下是完全重構的。 在引入誤差的情況下, 點對稱延拓比對稱延拓的重構精度要高。

它的缺點是對于偶數長度信号, 它依賴于最後一個信号的原始值, 特别是在圖像的壓縮編碼中這将破壞原有的基于小波變換的編碼算法, 但是由于最後一個原始信号和小波分解低頻信号的值很接近, 故可以用兩者之差代替原始值, 盡量消除這個缺點帶來的影響。

5.參考文獻

小波變換點對稱邊界延拓問題研究

【1】 MALLAT S, ZHONG S.Characterization of signals from multiscale edges[J].IEEE Transaction on Patter Analysis and Machine Intel-ligence, 1992, 14 (7) :710-732.

【2】 DONOHO D L.Ideal spatial adaptation by wavelet shrinkage[J].Bi-ometrika, 1994, 81:425-455.