小波变换之点对称边界延拓(Symmetric boundary extension)

最近在写的论文中涉及小波变换及Symmetric boundary extension和自己的算法进行对比，于是查阅相关文章在此整理。

小波变换不清楚可以看此处

小波变换理论在信号处理中应用广泛，特别是在图像处理中基于小波的图像边缘检测 、降噪、图像数据压缩和计算机图形学等方面 。但是现实中的数字图像信号都是有限长的, 所以应用离散小波变换时, 必须对边界点进行特殊处理。边界处理的目的是尽可能地保留小波滤波器组的重构性, 数据速率, 以及最大限度地减少边块效应。

Symmetric boundary extension

• 1.背景
• 2.点对称延拓
• 3. 点对称性质分析
• 4.结论
• 5.参考文献

1.背景

目前主要有两种做法：一种是对小波滤波器的结构进行改造，另一种是先对信号进行边界延拓, 然后再进行滤波处理。在实际操作中应用得更多的是边界延拓。

• 边界延拓的方式很多, 有零填充、周期延拓、对称延拓、点对称延拓等。在这些延拓方式中, 周期延拓和对称延拓在保持数据量不变的情况下, 是可以完全重构的。由于对称延拓的边界连续, 可以达到完全重构, 而且不像周期延拓那样要缓存整个信号, 所以是当前对数字图像信号作小波变换中应用得最广泛的延拓方式。
• 对称延拓以信号端点为对称轴, 进行信号的边界延拓。它是目前小波变换中使用最多的一种延拓方式, 该方法可以在保持数据量不增加的情况下达到完全重构。延拓时, 仅用到信号边界的信息, 不会需要很大的内存。由于延拓后的信号在边界处是连续的, 该方法有利于消除边块效应。

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2.点对称延拓

点对称延拓使得边界点在延拓后具有一阶导数是连续的, 比对称延拓更有利于消除边块效应。其缺点是对于偶数长度信号, 它依赖于最后一个信号的原始值, 这将破坏原有的基于小波变换的算法。但由于最后一个原始信号和小波分解低频信号的值很接近, 故可以用两者之差代替原始值, 尽量消除这个缺点带来的影响。

3. 点对称性质分析

定理1 连续函数f (x) 关于点 (x0, f (x0) ) 对称, 则在该点一阶导数连续。

证明 连续函数f (x) 关于点 (x0, f (x0) ) 对称, 设Δx>0, 则:

f (x0-Δx) +f (x0+Δx) =2f (x0)

其左导数为:

故左导数等于右导数, 说明函数f (x) 在x=x0处的一阶导数是连续的。

很多数字信号是将连续的自然信号离散化的结果, 边界延拓中若尽量保持其光滑性, 对小波变换与重构是极为有利的。设小波滤波器为奇数对称的, 对长度为M的离散信号序列{x0, x1, …, xM-1}点对称延拓方式为:

4.结论

点对称延拓具有一阶导数连续性, 它对消除边块效应极为有利。并且在保持信号长度不变的情况下是完全重构的。 在引入误差的情况下, 点对称延拓比对称延拓的重构精度要高。

它的缺点是对于偶数长度信号, 它依赖于最后一个信号的原始值, 特别是在图像的压缩编码中这将破坏原有的基于小波变换的编码算法, 但是由于最后一个原始信号和小波分解低频信号的值很接近, 故可以用两者之差代替原始值, 尽量消除这个缺点带来的影响。

5.参考文献

小波变换点对称边界延拓问题研究

【1】 MALLAT S, ZHONG S.Characterization of signals from multiscale edges[J].IEEE Transaction on Patter Analysis and Machine Intel-ligence, 1992, 14 (7) :710-732.

【2】 DONOHO D L.Ideal spatial adaptation by wavelet shrinkage[J].Bi-ometrika, 1994, 81:425-455.