動态規劃之石子歸并

題目：有n堆石子排成一列，每堆石子有一個重量w[i], 每次合并可以合并相鄰的兩堆石子，一次合并的代價為兩堆石子的重量

       和w[i]+w[i+1]。問安排怎樣的合并順序，能夠使得總合并代價達到最小。

輸入：

第一行一個整數n（n<=100）

第二行n個整數w1,w2...wn  (wi <= 100)

輸出：一個整數表示最小合并代價

  這是一個比較經典的動态規劃問題，對于給定的石子，當合并完後，隻會剩餘一堆石子，而這一堆石子是由兩堆石子合并而來的。

 通過倒推可以知道，第i~j堆已合并石子可以由i~k堆已合并石子與k~j堆已合并石子合并而來（i<=k<=j)。即dp[i][j]=dp[i][k]+dp[k][j]

+sum[i][j];(sum[i][j]為這堆石子的合并代價）

于是可以有

for(j=1;j<=n;j++)
    {
        for(i=j-1;i>0;i--)
        {
            dp[i][j]=dp[i][i]+dp[i+1][j]+sum[i][j];

            for(k=i+1;k<j;k++)
            {
                dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[i][j]);
            }
        }
    }      

其中dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[i][j]);是找出第i~j堆石子合并的的最小帶價。下面是全代碼：

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int min(int a,int b)//找出a,b的最小值。
{
    if(a>b) return b;
    else return a;
}
int main()
{
    int sum[101][101],dp[101][101],w[101];
    memset(sum,0,sizeof(sum));
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    int n,i,j,k;
    cin>>n;
    for(i=1;i<=n;i++)//讀入每個石子堆對應的代價。
    {
        cin>>w[i];
    }
    for(i=1;i<=n;i++)//計算從i到j的石子堆的總代價，用sum[i][j]表示。
    {
        sum[i][i]=w[i];
        for(j=i+1;j<=n;j++)
        {
            sum[i][j]=sum[i][j-1]+w[j];
        }
    }
    for(j=1;j<=n;j++)//通過動态規劃找出最優的代價。
    {
        for(i=j-1;i>0;i--)
        {
            dp[i][j]=dp[i][i]+dp[i+1][j]+sum[i][j];

            for(k=i+1;k<j;k++)
            {
                dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[i][j]);//dp[i][k]，dp[k+1][j]表示合成這堆石子
                                                                    //的前兩堆石子的合并的最小代價。
            }
        }
    }
    cout<<dp[1][n]<<endl;
    return 0;
}      

執行個體：

輸入：4

        4 1 1 4

輸出：18

程式分析：sum[1][1]=4,sum[1][2]=5,sum[1][3]=6,sum[1][4]=10,

              sum[2][2]=1,sum[2][3]=2,sum[2][4]=6,...

              dp[1][2]=5,dp[2][3]=2,dp[1][3]=8.

            dp[1][2]+dp[2][3]+sum[1][3]=13

          dp[1][3]=min(dp[1][3],dp[1][2]+dp[2][3]+sum[1][3])=8;

          ...

最後可得結果為 18，

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