4種頻率及其數量關系
實際實體頻率表示AD采集實體信号的頻率，fs為采樣頻率，由奈奎斯特采樣定理可以知道，fs必須≥信号最高頻率的2倍才不會發生信号混疊，是以fs能采樣到的信号最高頻率為fs/2。
角頻率是實體頻率的2*pi倍，這個也稱模拟頻率。
歸一化頻率是将實體頻率按fs歸一化之後的結果，最高的信号頻率為fs/2對應歸一化頻率0.5，這也就是為什麼在matlab的fdtool工具中歸一化頻率為什麼最大隻到0.5的原因。
圓周頻率是歸一化頻率的2*pi倍，這個也稱數字頻率。
有關FFT頻率與實際實體頻率的分析
做n個點的FFT，表示在時域上對原來的信号取了n個點來做頻譜分析，n點FFT變換的結果仍為n個點。
換句話說，就是将2pi數字頻率w分成n份，而整個數字頻率w的範圍覆寫了從0-2pi*fs的模拟頻率範圍。這裡的fs是采樣頻率。而我們通常隻關心0-pi中的頻譜，因為根據奈科斯特定律，隻有f=fs/2範圍内的信号才是被采樣到的有效信号。那麼，在w的範圍内，得到的頻譜肯定是關于n/2對稱的。
舉例說，如果做了16個點的FFT分析，你原來的模拟信号的最高頻率f=32kHz，采樣頻率是64kHz，n的範圍是0,1,2...15。這時，64kHz的模拟頻率被分成了16分，每一份是4kHz，這個叫頻率分辨率。那麼在橫坐标中，n=1時對應的f是4kHz, n=2對應的是8kHz, n=15時對應的是60kHz，你的頻譜是關于n=8對稱的。你隻需要關心n=0到7以内的頻譜就足夠了，因為，原來信号的最高模拟頻率是32kHz。
這裡可以有兩個結論。
- 第一，必須知道原來信号的采樣頻率fs是多少，才可以知道每個n對應的實際頻率是多少，第k個點的實際頻率的計算為f(k)=k*(fs/n)
- 第二，你64kHz做了16個點FFT之後，因為頻率分辨率是4kHz，如果原來的信号在5kHz或者63kHz有分量，你在頻譜上是看不見的，這就表示你越想頻譜畫得逼真，就必須取越多的點數來做FFT，n就越大，你在時域上就必須取更長的信号樣本來做分析。但是無論如何，由于離散采樣的原理，你不可能完全準确地畫出原來連續時間信号的真實頻譜，隻能無限接近（就是n無限大的時候），這個就叫做頻率洩露。在采樣頻率fs不變得情況下，頻率洩漏可以通過取更多的點來改善，也可以通過做FFT前加窗來改善，這就是另外一個話題了。
離散信号傅裡葉變換的周期性讨論
要分析這個，我們先從Laplace變換與Z變換之間的關系談起。
由
，得z平面與s平面的關系圖
圖中的關系有以下幾點：
- s平面的虛軸映射到z平面的機關圓上
- s平面的負半軸映射到z平面的機關圓内
- s平面的正半軸映射到z平面的機關圓外
Laplace變換是用于連續信号的變換，相對應的z變換是應用到z平面的變換。是以從另一個角度，上面談到的角頻率
（模拟頻率）對應的是s平面，圓周頻率
對應的是z平面（也是為什麼稱為圓周頻率的原因）。
現在我們來看一下s平面虛軸上模拟頻率的變換将會導緻z平面機關圓上如何變化：
- 當模拟頻率在s平面的虛軸上從0變到fs 時，數字頻率在z平面機關圓上從0變到2 pi。
- 當模拟頻率在s平面的虛軸上從2fs變到4fs時，數字頻率在z平面機關圓上仍然從0變到2 pi。
- 。。。。。。z平面如此循環重複
我們知道離散信号的傅裡葉變換對應到機關圓上的z變換，是以上面的結論就驗證了為什麼離散信号的傅裡葉變換是周期性：根本原因所是機關圓上的周期性。
考慮到我們實際應用中可選擇一個周期，這也能夠解釋：因為實際信号的頻率總是在fs/2以下，這就對應到z平面機關圓上的0~pi，在一個周期範圍内就可以進行信号分析了。