求LCA（最近公共祖先）的算法有好多，按線上和離線分為線上算法和離線算法。
離線算法有基于搜尋的Tarjan算法比較好，而線上算法則是基于dp的ST算法比較好。
這次先講一下ST算法。
這個算法是基于RMQ（區間最大最小值編号）的，而求LCA就是把樹通過深搜得到一個序列，然後轉化為求區間的最小編号。
比如說給出這樣一棵樹。
通過深搜可以得到這樣一個序列：
節點ver： 1 2 1 3 4 3 5 6 5 7（左到右）
深度 R ： 1 2 1 2 3 2 3 4 3 4
首位first：1 2 4 5 7 8 10 （即這個數第一次出現的位置）
或者這樣：
那麼就可以這樣寫深搜代碼：
int tot,head[N],ver[2*N],R[2*N],first[N],dir[N];
//ver:節點編号 R：深度 first：點編号第一次位置 dir：距離
void dfs(int u ,int dep)
{
vis[u] = true;
ver[++tot] = u;
first[u] = tot;
R[tot] = dep;
for(int k=head[u]; k!=-1; k=e[k].next)
if( !vis[e[k].v] )
{
int v = e[k].v , w = e[k].w;
dir[v] = dir[u] + w;
dfs(v,dep+1);
//下面兩句表示dfs的時候還要回溯到上面
ver[++tot] = u;
R[tot] = dep;
}
} 搜尋得到序列之後假如我們想求4 和7的 LCA。（最醜那幅圖。。。）
那麼我們找4和7在序列中的位置通過first 數組查找發現在5---10的ver數組的範圍
即4 3 5 6 5 7 在上面圖上找發現正好是以3為根的子樹。而我們隻要找到其中一個深度最小的編号即 3 就可以了。
這時候我們就用到了RMQ算法。
維護一個dp數組儲存其區間深度最小的下标，查找的時候傳回就可以了。
比如上面我們找到深度最小的為點3，傳回其在ver數組中的下标 6 即可。
代碼可以這樣寫：
void ST(int n)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
dp[i][0] = i;
for(int j=1;(1<<j)<=n;j++)
{
for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
{
int a = dp[i][j-1] , b = dp[i+(1<<(j-1))][j-1];
dp[i][j] = R[a]<R[b]?a:b;
}
}
}
//中間部分是交叉的。
int RMQ(int l,int r)
{
int k=0;
while((1<<(k+1))<=r-l+1)
k++;
int a = dp[l][k], b = dp[r-(1<<k)+1][k]; //儲存的是編号
return R[a]<R[b]?a:b;
}
int LCA(int u ,int v)
{
int x = first[u] , y = first[v];
if(x > y) swap(x,y);
int res = RMQ(x,y);
return ver[res];
}