求LCA(最近公共祖先)的算法有好多,按在线和离线分为在线算法和离线算法。
离线算法有基于搜索的Tarjan算法比较好,而在线算法则是基于dp的ST算法比较好。
这次先讲一下ST算法。
这个算法是基于RMQ(区间最大最小值编号)的,而求LCA就是把树通过深搜得到一个序列,然后转化为求区间的最小编号。
比如说给出这样一棵树。
![](https://img.laitimes.com/img/_0nNw4CM6IyYiwiM6ICdiwiI0gTMx81dsQWZ4lmZf1GLlpXazVmcvwFciV2dsQXYtJ3bm9CX9s2RkBnVHFmb1clWvB3MaVnRtp1XlBXe0xCMy81dvRWYoNHLwEzX5xCMx8FesU2cfdGLwMzX0xiRGZkRGZ0Xy9GbvNGLpZTY1EmMZVDUSFTU4VFRR9Fd4VGdsYTMfVmepNHLrJXYtJXZ0F2dvwVZnFWbp1zczV2YvJHctM3cv1Ce-cmbw5SM1IzNyMjZ2EzYjZmZ5QjZyYzX4QTMyQTMxEzLchDMyIDMy8CXn9Gbi9CXzV2Zh1WavwVbvNmLvR3YxUjLyM3Lc9CX6MHc0RHaiojIsJye.png)
通过深搜可以得到这样一个序列:
节点ver: 1 2 1 3 4 3 5 6 5 7(左到右)
深度 R : 1 2 1 2 3 2 3 4 3 4
首位first:1 2 4 5 7 8 10 (即这个数第一次出现的位置)
或者这样:
那么就可以这样写深搜代码:
int tot,head[N],ver[2*N],R[2*N],first[N],dir[N];
//ver:节点编号 R:深度 first:点编号第一次位置 dir:距离
void dfs(int u ,int dep)
{
vis[u] = true;
ver[++tot] = u;
first[u] = tot;
R[tot] = dep;
for(int k=head[u]; k!=-1; k=e[k].next)
if( !vis[e[k].v] )
{
int v = e[k].v , w = e[k].w;
dir[v] = dir[u] + w;
dfs(v,dep+1);
//下面两句表示dfs的时候还要回溯到上面
ver[++tot] = u;
R[tot] = dep;
}
}
搜索得到序列之后假如我们想求4 和7的 LCA。(最丑那幅图。。。)
那么我们找4和7在序列中的位置通过first 数组查找发现在5---10的ver数组的范围
即4 3 5 6 5 7 在上面图上找发现正好是以3为根的子树。而我们只要找到其中一个深度最小的编号即 3 就可以了。
这时候我们就用到了RMQ算法。
维护一个dp数组保存其区间深度最小的下标,查找的时候返回就可以了。
比如上面我们找到深度最小的为点3,返回其在ver数组中的下标 6 即可。
代码可以这样写:
void ST(int n)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
dp[i][0] = i;
for(int j=1;(1<<j)<=n;j++)
{
for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
{
int a = dp[i][j-1] , b = dp[i+(1<<(j-1))][j-1];
dp[i][j] = R[a]<R[b]?a:b;
}
}
}
//中间部分是交叉的。
int RMQ(int l,int r)
{
int k=0;
while((1<<(k+1))<=r-l+1)
k++;
int a = dp[l][k], b = dp[r-(1<<k)+1][k]; //保存的是编号
return R[a]<R[b]?a:b;
}
int LCA(int u ,int v)
{
int x = first[u] , y = first[v];
if(x > y) swap(x,y);
int res = RMQ(x,y);
return ver[res];
}