【高等數學】下冊 第十二章 第三節 幂級數

文章目錄

• 1. 函數項級數的概念
• • 1.1. 函數項級數的定義
  • 1.2. 函數項級數的收斂與發散
  • 1.3. 函數項級數的和函數

1. 函數項級數的概念

1.1. 函數項級數的定義

如果給定一個定義在區間 I I I上的函數列 u 1 ( x ) , u 2 ( x ) , u 3 ( x ) , . . . , u n ( x ) , . . . , u_1(x),u_2(x),u_3(x),...,u_n(x),..., u1​(x),u2​(x),u3​(x),...,un​(x),...,那麼由這函數列構成的表達式 u 1 ( x ) + u 2 ( x ) + u 3 ( x ) + . . . + u n ( x ) + . . . u_1(x)+u_2(x)+u_3(x)+...+u_n(x)+... u1​(x)+u2​(x)+u3​(x)+...+un​(x)+...稱為定義在區間 I I I上的函數項級數。

1.2. 函數項級數的收斂與發散

• 對于每一個确定的值 x 0 ∈ I x_0\in I x0​∈I，函數項級數成為常數項級數 u 1 ( x 0 ) + u 2 ( x 0 ) + u 3 ( x 0 ) + . . . + u n ( x 0 ) + . . . , u_1(x_0)+u_2(x_0)+u_3(x_0)+...+u_n(x_0)+..., u1​(x0​)+u2​(x0​)+u3​(x0​)+...+un​(x0​)+...,這個級數可能收斂也可能發散。
• 如果收斂，就稱點 x 0 x_0 x0​是函數項級數的收斂點；如果發散，就稱點 x 0 x_0 x0​是函數項級數的發散點。
• 函數項級數收斂點的全體稱為它的收斂域，發散點的全體稱為它的發散域。

1.3. 函數項級數的和函數

• 對應于收斂域内的任意一個數 x x x，函數項級數成為一收斂的常數項級數，因而有一确定的和 s s s，這樣，在收斂域上，函數項級數的和是 x x x的函數 s ( x ) s(x) s(x)，通常稱 s ( x ) s(x) s(x)為函數項級數的和函數，這個函數的定義域就是級數的收斂域。并寫成 s ( x ) = u 1 ( x 0 ) + u 2 ( x 0 ) + u 3 ( x 0 ) + . . . + u n ( x 0 ) + . . . s(x)=u_1(x_0)+u_2(x_0)+u_3(x_0)+...+u_n(x_0)+... s(x)=u1​(x0​)+u2​(x0​)+u3​(x0​)+...+un​(x0​)+...
• 把函數項級數的前 n n n項的部分和記作 s n ( x ) s_n(x) sn​(x)，則在收斂域上有 lim ⁡ n → ∞ s n ( x ) = s ( x ) . \lim_{n\rightarrow\infin}s_n(x)=s(x). n→∞lim​sn​(x)=s(x).
• 記 r n ( x ) = s ( x ) − s n ( x ) r_n(x)=s(x)-s_n(x) rn​(x)=s(x)−sn​(x)， r n ( x ) r_n(x) rn​(x)叫做函數項級數的餘項，當然，隻有當 x x x在收斂域上 r n ( x ) r_n(x) rn​(x)才有意義，并有 lim ⁡ n → ∞ r n ( x ) = 0. \lim_{n\rightarrow\infin}r_n(x)=0. n→∞lim​rn​(x)=0.