【高等数学】下册 第十二章 第三节 幂级数

文章目录

• 1. 函数项级数的概念
• • 1.1. 函数项级数的定义
  • 1.2. 函数项级数的收敛与发散
  • 1.3. 函数项级数的和函数

1. 函数项级数的概念

1.1. 函数项级数的定义

如果给定一个定义在区间 I I I上的函数列 u 1 ( x ) , u 2 ( x ) , u 3 ( x ) , . . . , u n ( x ) , . . . , u_1(x),u_2(x),u_3(x),...,u_n(x),..., u1​(x),u2​(x),u3​(x),...,un​(x),...,那么由这函数列构成的表达式 u 1 ( x ) + u 2 ( x ) + u 3 ( x ) + . . . + u n ( x ) + . . . u_1(x)+u_2(x)+u_3(x)+...+u_n(x)+... u1​(x)+u2​(x)+u3​(x)+...+un​(x)+...称为定义在区间 I I I上的函数项级数。

1.2. 函数项级数的收敛与发散

• 对于每一个确定的值 x 0 ∈ I x_0\in I x0​∈I，函数项级数成为常数项级数 u 1 ( x 0 ) + u 2 ( x 0 ) + u 3 ( x 0 ) + . . . + u n ( x 0 ) + . . . , u_1(x_0)+u_2(x_0)+u_3(x_0)+...+u_n(x_0)+..., u1​(x0​)+u2​(x0​)+u3​(x0​)+...+un​(x0​)+...,这个级数可能收敛也可能发散。
• 如果收敛，就称点 x 0 x_0 x0​是函数项级数的收敛点；如果发散，就称点 x 0 x_0 x0​是函数项级数的发散点。
• 函数项级数收敛点的全体称为它的收敛域，发散点的全体称为它的发散域。

1.3. 函数项级数的和函数

• 对应于收敛域内的任意一个数 x x x，函数项级数成为一收敛的常数项级数，因而有一确定的和 s s s，这样，在收敛域上，函数项级数的和是 x x x的函数 s ( x ) s(x) s(x)，通常称 s ( x ) s(x) s(x)为函数项级数的和函数，这个函数的定义域就是级数的收敛域。并写成 s ( x ) = u 1 ( x 0 ) + u 2 ( x 0 ) + u 3 ( x 0 ) + . . . + u n ( x 0 ) + . . . s(x)=u_1(x_0)+u_2(x_0)+u_3(x_0)+...+u_n(x_0)+... s(x)=u1​(x0​)+u2​(x0​)+u3​(x0​)+...+un​(x0​)+...
• 把函数项级数的前 n n n项的部分和记作 s n ( x ) s_n(x) sn​(x)，则在收敛域上有 lim ⁡ n → ∞ s n ( x ) = s ( x ) . \lim_{n\rightarrow\infin}s_n(x)=s(x). n→∞lim​sn​(x)=s(x).
• 记 r n ( x ) = s ( x ) − s n ( x ) r_n(x)=s(x)-s_n(x) rn​(x)=s(x)−sn​(x)， r n ( x ) r_n(x) rn​(x)叫做函数项级数的余项，当然，只有当 x x x在收敛域上 r n ( x ) r_n(x) rn​(x)才有意义，并有 lim ⁡ n → ∞ r n ( x ) = 0. \lim_{n\rightarrow\infin}r_n(x)=0. n→∞lim​rn​(x)=0.