傅裡葉級數與傅裡葉變換

本文有關三角函數的描述很多，忘記高中知識的可以從這個連結複習下各個概念：振幅、周期、相移和頻率。

一、從簡單變換到傅裡葉級數

如下圖所示，在笛卡爾坐标系中，由于我們定義了一組基 e x = ( 1 , 0 ) , e y = ( 0 , 1 ) e_x=(1,0),e_y=(0,1) ex​=(1,0),ey​=(0,1)，是以坐标系中的所有點才能夠被一個坐标唯一地表示：

這樣的好處是有了坐标以後，點與點之間就不再是互相孤立的存在，也就有了距離的關系。這個過程就是一種變換，即把坐标變換到坐标系中。

這種簡單的變換是将空間中的點使用一組基來表示，點是基的權重累加，而類比到函數中，對于一個函數，我們期待使用一組基函數來表示。傅裡葉級數與傅裡葉變換就是用來辦到這件事的方法，其中傅裡葉級數能夠将任意周期函數表示成一組基函數依照各自的系數的累加，而傅裡葉變換針對的是非周期函數。

首先闡述傅裡葉級數，它可以将任意周期函數分解為簡單震蕩函數（正弦函數和餘弦函數，這些函數作為基函數）的加和。具體地，對于周期為 T T T的周期函數 f ( t ) f(t) f(t)，可以分解為三角函數的組合：

f ( t ) = a 0 + ∑ n = 1 + ∞ [ a n c o s ( n ω t ) + b n s i n ( n ω t ) ] f(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{+\infty }\left [a_{n}cos(n\omega t)+b_{n}sin(n\omega t)\right ] f(t)=a0​+n=1∑+∞​[an​cos(nωt)+bn​sin(nωt)]

這裡的 w = 2 π T w=\frac{2\pi }{T} w=T2π​，稱為基頻率。類比笛卡爾坐标系， a 0 , a n , b n a_0,a_n,b_n a0​,an​,bn​就相當于坐标，而 1 , c o s ( n ω t ) , s i n ( n ω t ) 1,cos(n\omega t),sin(n\omega t) 1,cos(nωt),sin(nωt)就相當于基向量，不同的是， 1 , c o s ( n ω t ) , s i n ( n ω t ) 1,cos(n\omega t),sin(n\omega t) 1,cos(nωt),sin(nωt)是一組函數，而基向量是一組向量，笛卡爾坐标系使用基向量來表示點，傅裡葉級數使用基函數來表示周期函數。

這裡保留一個疑問：在上面對任意周期函數 f ( t ) f(t) f(t)的分解公式中，這裡的 1 , c o s ( n ω t ) , s i n ( n ω t ) 1,cos(n\omega t),sin(n\omega t) 1,cos(nωt),sin(nωt)這些基函數都是沒有相位的，也就是說這些基函數在坐标系中都是關于 y y y軸對稱的，那麼在 f ( t ) f(t) f(t)不關于 y y y軸對稱時，這些關于 y y y軸對稱的基函數們真的能夠通過線性組合得到一個不關于 y y y軸對稱的周期函數嗎？這一點是很難直覺想象的，在下面的章節中我們會證明這件事。

本節類比了笛卡爾坐标系與傅裡葉級數，首先對變換有一個簡單的概念，接下來的章節會介紹更多的細節。

二、傅裡葉級數

1. 三角函數系

一個三角函數系為：

{ 1 , s i n ( ω x ) , c o s ( ω x ) , s i n ( 2 ω x ) , c o s ( 2 ω x ) , ⋯   , s i n ( n ω x ) , c o s ( n ω x ) , ⋯   } \left \{1,sin(\omega x),cos(\omega x),sin(2\omega x),cos(2\omega x),\cdots ,sin(n\omega x),cos(n\omega x),\cdots \right \} {1,sin(ωx),cos(ωx),sin(2ωx),cos(2ωx),⋯,sin(nωx),cos(nωx),⋯}

注意 1 1 1也可以看做一個函數，其實也就是 c o s ( 0 ω x ) cos(0\omega x) cos(0ωx)，由于 s i n ( 0 ω x ) = 0 sin(0\omega x)=0 sin(0ωx)=0，是以我們就不管它了。另外這裡的 ω \omega ω也就是上面提到的基頻率，可以看到這個基頻率的大小由要分解的函數 f ( t ) f(t) f(t)的周期 T T T決定的，也就是說使用傅裡葉級數分解周期函數時不同周期的函數要使用不同的三角函數系來作為基函數。

在笛卡爾坐标系中，基向量滿足的性質是不同的基向量之間兩兩正交（内積為 0 0 0），相同的基向量内積為 1 1 1。假設兩個基向量 v v v和 m m m，用下标表示基向量的次元，則他們的内積就是對應的次元相乘之後的累加：

v ⋅ m = v 1 m 1 + v 2 m 2 + ⋯ + v n m n = 0 v\cdot m=v_{1}m_{1}+v_{2}m_{2}+\cdots +v_{n}m_{n}=0 v⋅m=v1​m1​+v2​m2​+⋯+vn​mn​=0

傅裡葉級數的基函數之間也有類似的性質，基向量之間的内積是以累加的方式計算的，類似的，基函數之間的内積是以積分的形式計算的。同樣類似的，不同基函數之間的内積為 0 0 0，同一基函數的内積為一個正數。

首先，如果從三角函數系中任意取兩個函數 f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)（當然也包括 1 1 1這個函數），有：

∫ − π π f ( x ) g ( x ) d x = 0 \int_{-\pi }^{\pi }f(x)g(x)\mathrm{d}x=0 ∫−ππ​f(x)g(x)dx=0

比如：

∫ − π π s i n ( 4 ω x ) c o s ( 7 ω x ) d x = 0 ∫ − π π 1 ⋅ s i n ( 9 ω x ) d x = 0 ∫ − π π s i n ( ω o 9 p x ) c o s ( ω x ) d x = 0 \int_{-\pi }^{\pi }sin(4\omega x)cos(7\omega x)\mathrm{d}x=0\\ \int_{-\pi }^{\pi }1\cdot sin(9\omega x)\mathrm{d}x=0\\ \int_{-\pi }^{\pi }sin(\omega o9px)cos(\omega x)\mathrm{d}x=0 ∫−ππ​sin(4ωx)cos(7ωx)dx=0∫−ππ​1⋅sin(9ωx)dx=0∫−ππ​sin(ωo9px)cos(ωx)dx=0

另外三角函數系中兩個相同的函數之間的内積為一個正數，比如：

∫ − π π 1 ⋅ 1 d x = 2 π ∫ − π π s i n ( n ω x ) s i n ( n ω x ) d x = π ∫ − π π c o s ( n ω x ) c o s ( n ω x ) d x = π \int_{-\pi }^{\pi }1\cdot 1\mathrm{d}x=2\pi \\ \int_{-\pi }^{\pi }sin(n\omega x)sin(n\omega x)\mathrm{d}x=\pi \\ \int_{-\pi }^{\pi }cos(n\omega x)cos(n\omega x)\mathrm{d}x=\pi ∫−ππ​1⋅1dx=2π∫−ππ​sin(nωx)sin(nωx)dx=π∫−ππ​cos(nωx)cos(nωx)dx=π

1. 傅裡葉級數的直覺了解

• 矩形波的分解

以一個周期矩形波為例，難以想象的是這個矩形波是可以被傅裡葉級數分解的。下圖中展示了多個正弦函數如何逐漸組合成為一個矩形波，随着震蕩函數的增加，它們最終就可以組成一個矩形波：

注意這裡隻有正弦函數而沒有餘弦函數，這裡的正弦函數并非指的是前面對 f ( t ) f(t) f(t)的分解公式裡的正弦函數，公式裡的正弦函數是沒有相位的，而這裡說的正弦函數是有相位的。我們之前說任意周期函數都可以由正弦和餘弦函數累加而組成，這裡的正弦函數和餘弦函數是沒有相位的，而事實上我們隻需要有相位的正弦函數就可以組成任意的周期函數了。下圖也同樣展示了這些有相位的正弦波組合成矩形波的過程：

這裡的正弦波之間還有一些直線，這些直線其實也是正弦波，隻不過振幅為 0 0 0，這說明組成一個周期函數時，可能一些成分是不需要的。

• 頻譜

上面的圖立體地展示了正弦波組合成周期函數的過程，如果我們從側面來看這個立體圖，也就得到了所謂的頻譜（Spectrum）：

其實也就相當于以這些正弦波的頻率做橫軸，振幅做豎軸得到圖像：

現在再重新來看一個周期函數的立體分解圖，也就是說從正面來看看到的是**時域（Time Domain）的圖像，而從側面來看看到的就是頻域（Frequency Domain）**圖像：

• 相位譜

頻譜記錄了正弦波的頻率和振幅，但沒有記錄相位資訊，同樣的我們可以以頻率為橫軸，相位為縱軸建構一個相位譜（phase spectrum）：

利用頻譜和相位譜就可以記錄所有的組成一個周期函數的正弦函數了。最終，放一張集合圖：

1. 傅裡葉級數的由來

現在我們解釋下面這個式子的由來，也順便回答第一個章節留下的疑問：

f ( t ) = a 0 + ∑ n = 1 + ∞ [ a n c o s ( n ω t ) + b n s i n ( n ω t ) ] f(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{+\infty }\left [a_{n}cos(n\omega t)+b_{n}sin(n\omega t)\right ] f(t)=a0​+n=1∑+∞​[an​cos(nωt)+bn​sin(nωt)]

利用帶有相位的正弦函數可以組合成任意的周期函數，當然這裡的基頻率還是 ω = 2 π T \omega =\frac{2\pi }{T} ω=T2π​，這個過程用公式可以表示為：

f ( t ) = ∑ n = 0 + ∞ A n s i n ( n ω t + φ n ) f(t)=\sum_{{\color{Red}{n=0}}}^{+\infty }A_{n}sin(n\omega t+\varphi _{n}) f(t)=n=0∑+∞​An​sin(nωt+φn​)

利用和角公式進行一些變換：

f ( t ) = ∑ n = 0 + ∞ A n s i n ( n ω t + φ n ) = ∑ n = 0 + ∞ A n [ s i n ( n ω t ) c o s ( φ n ) + c o s ( n ω t ) s i n ( φ n ) ] = ∑ n = 0 + ∞ [ A n c o s ( φ n ) s i n ( n ω t ) + A n s i n ( φ n ) c o s ( n ω t ) ] = A 0 c o s ( φ 0 ) s i n ( 0 ω t ) ⏟ = 0 + A 0 s i n ( φ 0 ) ⏟ 記 作 a 0 c o s ( 0 ω t ) ⏟ = 1 + ∑ n = 1 + ∞ [ A n c o s ( φ n ) ⏟ 記 作 b n s i n ( n ω t ) + A n s i n ( φ n ) ⏟ 記 作 a n c o s ( n ω t ) ] = a 0 + ∑ n = 1 + ∞ [ a n c o s ( n ω t ) + b n s i n ( n ω t ) ] f(t)=\sum_{{\color{Red}{n=0}}}^{+\infty }A_{n}sin(n\omega t+\varphi _{n})\\ =\sum_{n=0}^{+\infty }A_{n}[sin(n\omega t)cos(\varphi _{n})+cos(n\omega t)sin(\varphi _{n})]\\ =\sum_{n=0}^{+\infty }[A_{n}cos(\varphi _{n})sin(n\omega t)+A_{n}sin(\varphi _{n})cos(n\omega t)]\\ =A_{0}cos(\varphi _{0})\underset{=0}{\underbrace{sin(0\omega t)}}+\underset{記作a_{0}}{\underbrace{A_{0}sin(\varphi _{0})}}\underset{=1}{\underbrace{cos(0\omega t)}}+\sum_{{\color{Red}{n=1}}}^{+\infty }[\underset{記作b_{n}}{\underbrace{A_{n}cos(\varphi _{n})}}sin(n\omega t)+\underset{記作a_{n}}{\underbrace{A_{n}sin(\varphi _{n})}}cos(n\omega t)]\\ =a_{0}+\sum_{n=1}^{+\infty }\left [a_{n}cos(n\omega t)+b_{n}sin(n\omega t)\right ] f(t)=n=0∑+∞​An​sin(nωt+φn​)=n=0∑+∞​An​[sin(nωt)cos(φn​)+cos(nωt)sin(φn​)]=n=0∑+∞​[An​cos(φn​)sin(nωt)+An​sin(φn​)cos(nωt)]=A0​cos(φ0​)=0

sin(0ωt)​​+記作a0​

A0​sin(φ0​)​​=1

cos(0ωt)​​+n=1∑+∞​[記作bn​

An​cos(φn​)​​sin(nωt)+記作an​

An​sin(φn​)​​cos(nωt)]=a0​+n=1∑+∞​[an​cos(nωt)+bn​sin(nωt)]

最終得到了我們之前說過的傅裡葉級數，同時也解釋了前面留下的疑問。

1. 求解傅裡葉級數的系數

對于一個周期函數 f ( t ) f(t) f(t)，如何求它分解為傅裡葉級數後的系數 a 0 , a n , b n a_0,a_n,b_n a0​,an​,bn​呢？同樣類比笛卡爾坐标系，一個坐标點與一個基向量做内積就可以得到這個坐标點在這個基向量上的系數，那麼一個周期函數隻需要與一個基函數做積分，也就可以得到對應的系數。那麼首先求 a 0 a_0 a0​（ a 0 a_0 a0​對應的基函數為 c o s ( 0 t ) cos(0t) cos(0t)）：

∫ 0 T f ( t ) c o s ( 0 t ) d t = ∫ 0 T ( a 0 + ∑ n = 1 + ∞ [ a n c o s ( n ω t ) + b n s i n ( n ω t ) ] ) c o s ( 0 t ) d t = ∫ 0 T a 0 c o s ( 0 t ) d t + ∫ 0 T ∑ n = 1 + ∞ [ a n c o s ( n ω t ) c o s ( 0 t ) ⏟ 積 分 為 0 + b n s i n ( n ω t ) c o s ( 0 t ) ⏟ 積 分 為 0 ] d t = a 0 T \int_{0}^{T}f(t)cos(0t)\mathrm{d}t=\int_{0}^{T}\left (a_{0}+\sum_{n=1}^{+\infty }\left [a_{n}cos(n\omega t)+b_{n}sin(n\omega t)\right ]\right )cos(0t)\mathrm{d}t\\ =\int_{0}^{T}a_{0}cos(0t)\mathrm{d}t+\int_{0}^{T}\sum_{n=1}^{+\infty }[a_{n}\underset{積分為0}{\underbrace{cos(n\omega t)cos(0t)}}+b_{n}\underset{積分為0}{\underbrace{sin(n\omega t)cos(0t)}}]\mathrm{d}t\\ =a_{0}T ∫0T​f(t)cos(0t)dt=∫0T​(a0​+n=1∑+∞​[an​cos(nωt)+bn​sin(nωt)])cos(0t)dt=∫0T​a0​cos(0t)dt+∫0T​n=1∑+∞​[an​積分為0

cos(nωt)cos(0t)​​+bn​積分為0

sin(nωt)cos(0t)​​]dt=a0​T

那麼就有：

a 0 = 1 T ∫ 0 T f ( t ) d t a_{0}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)\mathrm{d}t a0​=T1​∫0T​f(t)dt

然後求 a n a_n an​，對應的基函數為 c o s ( n ω t ) cos(n\omega t) cos(nωt)：

∫ 0 T f ( t ) c o s ( n ω t ) d t = ∫ 0 T ( a 0 + ∑ m = 1 + ∞ [ a m c o s ( m ω t ) + b m s i n ( m ω t ) ] ) c o s ( n ω t ) d t = ∫ 0 T a 0 c o s ( n ω t ) d t + ∫ 0 T ∑ m = 1 + ∞ a m c o s ( m ω t ) c o s ( n ω t ) d t + ∫ 0 T ∑ m = 1 + ∞ b m s i n ( m ω t ) c o s ( n ω t ) d t = ∫ 0 T a n c o s ( n ω t ) c o s ( n ω t ) d t = ∫ 0 T a n c o s 2 ( n ω t ) d t = ∫ 0 T a n 1 + c o s ( 2 n ω t ) 2 d t = a n T 2 \int_{0}^{T}f(t)cos(n\omega t)\mathrm{d}t=\int_{0}^{T}\left (a_{0}+\sum_{m=1}^{+\infty }\left [a_{m}cos(m\omega t)+b_{m}sin(m\omega t)\right ]\right )cos(n\omega t)\mathrm{d}t\\ =\int_{0}^{T}a_{0}cos(n\omega t)\mathrm{d}t+\int_{0}^{T}\sum_{m=1}^{+\infty }a_{m}cos(m\omega t)cos(n\omega t)\mathrm{d}t+\int_{0}^{T}\sum_{m=1}^{+\infty }b_{m}sin(m\omega t)cos(n\omega t)\mathrm{d}t\\ =\int_{0}^{T}a_{n}cos(n\omega t)cos(n\omega t)\mathrm{d}t\\ =\int_{0}^{T}a_{n}cos^{2}(n\omega t)\mathrm{d}t\\ =\int_{0}^{T}a_{n}\frac{1+cos(2n\omega t)}{2}\mathrm{d}t\\ =a_{n}\frac{T}{2} ∫0T​f(t)cos(nωt)dt=∫0T​(a0​+m=1∑+∞​[am​cos(mωt)+bm​sin(mωt)])cos(nωt)dt=∫0T​a0​cos(nωt)dt+∫0T​m=1∑+∞​am​cos(mωt)cos(nωt)dt+∫0T​m=1∑+∞​bm​sin(mωt)cos(nωt)dt=∫0T​an​cos(nωt)cos(nωt)dt=∫0T​an​cos2(nωt)dt=∫0T​an​21+cos(2nωt)​dt=an​2T​

那麼就有：

a n = 2 T ∫ 0 T f ( t ) c o s ( n ω t ) d t a_{n}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)cos(n\omega t)\mathrm{d}t an​=T2​∫0T​f(t)cos(nωt)dt

最後用類似的方法求得 b n b_n bn​：

b n = 2 T ∫ 0 T f ( t ) s i n ( n ω t ) d t b_{n}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)sin(n\omega t)\mathrm{d}t bn​=T2​∫0T​f(t)sin(nωt)dt

1. 歐拉公式與傅裡葉級數

首先有歐拉公式如下：

e i θ = c o s ( θ ) + i s i n ( θ ) e^{i\theta }=cos(\theta )+isin(\theta ) eiθ=cos(θ)+isin(θ)

可以簡單的将歐拉公式了解為複數的另一種表示形式， e i θ e^{i\theta } eiθ看做複數。為了能夠化簡傅裡葉級數的表達形式，我們需要應用到歐拉公式。

當 θ = n ω t \theta =n\omega t θ=nωt以及 θ = − n ω t \theta =-n\omega t θ=−nωt時，根據歐拉公式有：

e i n ω t = c o s ( n ω t ) + i s i n ( n ω t ) e − i n ω t = c o s ( n ω t ) − i s i n ( n ω t ) e^{in\omega t}=cos(n\omega t)+isin(n\omega t)\\ e^{-in\omega t}=cos(n\omega t)-isin(n\omega t) einωt=cos(nωt)+isin(nωt)e−inωt=cos(nωt)−isin(nωt)

那麼：

c o s ( n ω t ) = e i n ω t + e − i n ω t 2 s i n ( n ω t ) = e i n ω t − e − i n ω t 2 i cos(n\omega t)=\frac{e^{in\omega t}+e^{-in\omega t}}{2}\\ sin(n\omega t)=\frac{e^{in\omega t}-e^{-in\omega t}}{2i} cos(nωt)=2einωt+e−inωt​sin(nωt)=2ieinωt−e−inωt​

将這兩項代入傅裡葉級數，并進行整理：

f ( t ) = a 0 + ∑ n = 1 + ∞ [ a n e i n ω t + e − i n ω t 2 + b n e i n ω t − e − i n ω t 2 i ] = a 0 + ∑ n = 1 + ∞ ( a n − i b n 2 ) e i n ω t + ∑ n = 1 + ∞ ( a n + i b n 2 ) e − i n ω t = ∑ n = 0 0 a n e i n ω t + ∑ n = 1 + ∞ ( a n − i b n 2 ) e i n ω t + ∑ n = − 1 − ∞ ( a − n + i b − n 2 ) e i n ω t = ∑ − ∞ + ∞ c n e i n ω t f(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{+\infty }\left [a_{n}\frac{e^{in\omega t}+e^{-in\omega t}}{2}+b_{n}\frac{e^{in\omega t}-e^{-in\omega t}}{2i}\right ]\\ ={\color{Red}{a_{0}}}+\sum_{n=1}^{+\infty }\left (\frac{a_{n}-ib_{n}}{2}\right )e^{in\omega t}+\sum_{{\color{Blue}{n=1}}}^{{\color{Blue}{+\infty }}}\left (\frac{{\color{Blue}{a_{n}}}+i{\color{Blue}{b_{n}}}}{2}\right ){\color{Blue}{e^{-in\omega t}}}\\ ={\color{Red}{\sum_{n=0}^{0}a_{n}e^{in\omega t}}}+\sum_{n=1}^{+\infty }\left (\frac{a_{n}-ib_{n}}{2}\right )e^{in\omega t}+\sum_{{\color{Blue}{n=-1}}}^{{\color{Blue}{-\infty }}}\left (\frac{{\color{Blue}{a_{-n}}}+i{\color{Blue}{b_{-n}}}}{2}\right ){\color{Blue}{e^{in\omega t}}}\\ =\sum_{-\infty }^{+\infty }{\color{Green}{c_{n}}}e^{in\omega t} f(t)=a0​+n=1∑+∞​[an​2einωt+e−inωt​+bn​2ieinωt−e−inωt​]=a0​+n=1∑+∞​(2an​−ibn​​)einωt+n=1∑+∞​(2an​+ibn​​)e−inωt=n=0∑0​an​einωt+n=1∑+∞​(2an​−ibn​​)einωt+n=−1∑−∞​(2a−n​+ib−n​​)einωt=−∞∑+∞​cn​einωt

其中：

當 n = 0 時 , c n = a 0 當 n = 1 , 2 , 3 , ⋯ 時 , c n = a n − i b n 2 當 n = − 1 , − 2 , − 3 , ⋯ 時 , c n = a − n + i b − n 2 當n=0時,c_{n}=a_{0}\\ 當n=1,2,3,\cdots 時,c_{n}=\frac{a_{n}-ib_{n}}{2}\\ 當n=-1,-2,-3,\cdots 時,c_{n}=\frac{a_{-n}+ib_{-n}}{2} 當n=0時,cn​=a0​當n=1,2,3,⋯時,cn​=2an​−ibn​​當n=−1,−2,−3,⋯時,cn​=2a−n​+ib−n​​

上一小節我們求得了系數 a 0 , a n , b n a_0,a_n,b_n a0​,an​,bn​，現在将這些系數代入經過歐拉公式變換後的傅裡葉級數。首先，當 n = 0 n=0 n=0時：

c n = a 0 = 1 T ∫ 0 T f ( t ) d t = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i 0 ω t d t c_{n}=a_{0}\\ =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)\mathrm{d}t\\ =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)e^{-i0\omega t}\mathrm{d}t cn​=a0​=T1​∫0T​f(t)dt=T1​∫0T​f(t)e−i0ωtdt

當 n = 1 , 2 , 3 , ⋯ n=1,2,3,\cdots n=1,2,3,⋯時：

c n = a n − i b n 2 = 2 T ∫ 0 T f ( t ) c o s ( n ω t ) d t − i 2 T ∫ 0 T f ( t ) s i n ( n ω t ) d t 2 = 1 T ∫ 0 T f ( t ) [ c o s ( n ω t ) − i s i n ( n ω t ) ] d t = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n ω t d t c_{n}=\frac{a_{n}-ib_{n}}{2}\\ =\frac{\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)cos(n\omega t)\mathrm{d}t-i\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)sin(n\omega t)\mathrm{d}t}{2}\\ =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)[cos(n\omega t)-isin(n\omega t)]\mathrm{d}t\\ =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)e^{-in\omega t}\mathrm{d}t cn​=2an​−ibn​​=2T2​∫0T​f(t)cos(nωt)dt−iT2​∫0T​f(t)sin(nωt)dt​=T1​∫0T​f(t)[cos(nωt)−isin(nωt)]dt=T1​∫0T​f(t)e−inωtdt

當 n = − 1 , − 2 , − 3 , ⋯ n=-1,-2,-3,\cdots n=−1,−2,−3,⋯時：

c n = a − n + i b − n 2 = 2 T ∫ 0 T f ( t ) c o s ( − n ω t ) d t + i 2 T ∫ 0 T f ( t ) s i n ( − n ω t ) d t 2 = 1 T ∫ 0 T f ( t ) [ c o s ( n ω t ) − i s i n ( n ω t ) ] d t = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n ω t d t c_{n}=\frac{a_{-n}+ib_{-n}}{2}\\ =\frac{\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)cos(-n\omega t)\mathrm{d}t+i\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)sin(-n\omega t)\mathrm{d}t}{2}\\ =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)[cos(n\omega t)-isin(n\omega t)]\mathrm{d}t\\ =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)e^{-in\omega t}\mathrm{d}t cn​=2a−n​+ib−n​​=2T2​∫0T​f(t)cos(−nωt)dt+iT2​∫0T​f(t)sin(−nωt)dt​=T1​∫0T​f(t)[cos(nωt)−isin(nωt)]dt=T1​∫0T​f(t)e−inωtdt

可見對于任意的 n n n，所有的 c n c_n cn​的表達式都是一樣的，總結一下，傅裡葉級數最終可以寫為：

f ( t ) = ∑ n = − ∞ + ∞ c n e i n ω t , 其 中 c n = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n ω t d t f(t)=\sum_{n=-\infty }^{+\infty }{c_{n}e^{in\omega t}},其中c_{n}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)e^{-in\omega t}\mathrm{d}t f(t)=n=−∞∑+∞​cn​einωt,其中cn​=T1​∫0T​f(t)e−inωtdt

上面的式子也就說明，任意的一個周期為 t t t的周期函數，都可以使用一組 c n c_n cn​來表示它。也就是說，在時域内 ( t , f ( t ) ) (t,f(t)) (t,f(t))可以唯一地确定函數 f ( t ) f(t) f(t)，而在頻域内，函數 f ( t ) f(t) f(t)由 ( n , c n ) (n,c_n) (n,cn​)來唯一确定，這就是從時域到頻域的轉換，如下圖：

上圖右邊縱軸 c n c_n cn​其實是個複數，可以了解為應該有兩個次元，一個實部，一個虛部，但是這裡為了簡單畫圖，就把它畫成了實數，但其實它是個複數。

三、傅裡葉變換

傅裡葉變換針對非周期函數，一個非周期函數可以看做周期無限大的函數。同樣的以 ω \omega ω作為基頻率，滿足 ω = 2 π T \omega =\frac{2\pi }{T} ω=T2π​，當 T → + ∞ T\rightarrow +\infty T→+∞時， ω → 0 \omega \rightarrow 0 ω→0，又有 ω = ( n + 1 ) ω − n ω = Δ ω \omega =(n+1)\omega -n\omega =\Delta \omega ω=(n+1)ω−nω=Δω，是以 Δ ω → 0 \Delta \omega \rightarrow 0 Δω→0。

在這裡我們将 c n c_n cn​寫作從 − T 2 -\frac{T}{2} −2T​到 T 2 \frac{T}{2} 2T​的積分：

c n = 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) e − i n ω t d t c_{n}=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega t}\mathrm{d}t cn​=T1​∫−2T​2T​​f(t)e−inωtdt

那麼對于非周期函數 f ( t ) f(t) f(t)來說有：

f ( t ) = lim ⁡ T → + ∞ ∑ n = − ∞ + ∞ c n e i n ω t = lim ⁡ T → + ∞ ∑ n = − ∞ + ∞ 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) e − i n ω t d t ⋅ e i n ω t = lim ⁡ Δ ω → 0 ∑ n = − ∞ + ∞ Δ ω 2 π ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − i n ω t d t ⋅ e i n ω t f(t)=\lim_{T\rightarrow +\infty }\sum_{n=-\infty }^{+\infty }{c_{n}e^{in\omega t}}\\ =\lim_{T\rightarrow +\infty }\sum_{n=-\infty }^{+\infty }\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega t}\mathrm{d}t\cdot e^{in\omega t}\\ =\lim_{\Delta \omega \rightarrow 0}\sum_{n=-\infty }^{+\infty }\frac{\Delta \omega }{2\pi }\int_{{\color{Red}{-\infty }}}^{{\color{Red}{+\infty }}}f(t)e^{-in\omega t}\mathrm{d}t\cdot e^{in\omega t} f(t)=T→+∞lim​n=−∞∑+∞​cn​einωt=T→+∞lim​n=−∞∑+∞​T1​∫−2T​2T​​f(t)e−inωtdt⋅einωt=Δω→0lim​n=−∞∑+∞​2πΔω​∫−∞+∞​f(t)e−inωtdt⋅einωt

從下圖中可以看做，當 Δ ω → 0 \Delta \omega \rightarrow 0 Δω→0時，雖然 n n n為離散的量，但是 n ω n\omega nω會變成一個連續的量：

注意 Δ ω = ω \Delta \omega =\omega Δω=ω，另外我們令 W = n ω W=n\omega W=nω，那麼我們有：

f ( t ) = lim ⁡ ω → 0 ∑ n = − ∞ + ∞ ω 2 π ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − i n ω t d t ⋅ e i n ω t = ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π ( ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − i W t d t ) e i W t d W = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ ( ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − i W t d t ) e i W t d W f(t)=\lim_{\omega \rightarrow 0}\sum_{{\color{Red}{n}}=-\infty }^{+\infty }\frac{{\color{Red}{\omega }}}{2\pi }\int_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-in\omega t}\mathrm{d}t\cdot e^{in\omega t}\\ =\int _{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{2\pi }\left (\int_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-iWt}\mathrm{d}t\right )e^{iWt}\mathrm{d}W\\ =\frac{1}{2\pi }\int _{-\infty }^{+\infty }\left (\int_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-iWt}\mathrm{d}t\right )e^{iWt}\mathrm{d}W f(t)=ω→0lim​n=−∞∑+∞​2πω​∫−∞+∞​f(t)e−inωtdt⋅einωt=∫−∞+∞​2π1​(∫−∞+∞​f(t)e−iWtdt)eiWtdW=2π1​∫−∞+∞​(∫−∞+∞​f(t)e−iWtdt)eiWtdW

注意這裡的 ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − i W t d t \int_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-iWt}\mathrm{d}t ∫−∞+∞​f(t)e−iWtdt是對 t t t進行積分，是以它是關于 W W W的函數，定義：

F ( W ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − i W t d t F(W)=\int_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-iWt}\mathrm{d}t F(W)=∫−∞+∞​f(t)e−iWtdt

F ( W ) F(W) F(W)就是 f ( t ) f(t) f(t)的傅裡葉變換，将 F ( W ) F(W) F(W)代入 f ( t ) f(t) f(t)得：

f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F ( W ) e i W t d W f(t)=\frac{1}{2\pi }\int _{-\infty }^{+\infty }F(W)e^{iWt}\mathrm{d}W f(t)=2π1​∫−∞+∞​F(W)eiWtdW

f ( t ) f(t) f(t)就是傅裡葉變換的逆變換。

參考資料

ref:【GCN】萬字長文帶你入門 GCN——公衆号：阿澤的學習筆記

ref:傅裡葉變換一步步詳細推導

ref:傅裡葉分析之掐死教程（完整版）