邊學邊思考——資料庫中函數依賴與多值依賴的辨析

我們先複習下什麼是函數：函數是發生在集合之間的一種對應關系（我喜歡用圖了解）

圖中表示的是函數中的單射、滿射和雙射。簡而言之就是集合的對應關系，而集合中的值一般滿足一對一和多對一的關系，不能存在一對多的關系。

基于上述對函數的了解，我們給出函數依賴的定義：

設R（U）是屬性集U上的關系模式，X,Y是U的子集，若對R（U）的任意一個可能的關系r，r中不可能存在兩個元祖在X上的屬性值相等，而在Y中的屬性值不等，則記為X→Y。簡而言之，函數依賴是某個屬性集決定另一個屬性集時，稱另一屬性集依賴于該屬性集。（事實上就是不能出現一對多的關系）

我們先區分函數依賴與屬性集中屬性的三種關系

設R(U)是屬性集U上的關系模式，X、Y是U的子集：

● 如果X和Y之間是1：1關系（一對一關系），如學校和校長之間就是1:1關系，則存在函數依賴X → Y和Y →X。

● 如果X和Y之間是1：n關系（一對多關系），如年齡和姓名之間就是1:n關系，則存在函數依賴Y → X。

●如果X和Y之間是m：n關系（多對多關系），如學生和課程之間就是m:n關系，則X和

用數學上的映射關系來了解，比如f（x）=2x；f（x，y）=x^+2y；f（x，y，z）=x+y-z等等，函數中變量元對應U中的X，所有X中的确定值經過函數關系的運算後組成Y。

其次，函數依賴包括以下幾種

1.平凡函數依賴

當關系中屬性集合Y是屬性集合X的子集時，存在函數依賴X→Y，即一組屬性函數決定它的所有子集，這種函數依賴稱為平凡函數依賴。

2.非平凡函數依賴

當關系中屬性集合Y不是屬性集合X的子集時，存在函數依賴X→Y，則稱這種函數依賴為非平凡函數依賴。

3.完全函數依賴

設X,Y是關系R的兩個屬性集合，X’是X的真子集，存在X→Y，但對每一個X’都有X’!→Y，則稱Y完全函數依賴于X。

4.部分函數依賴

設X,Y是關系R的兩個屬性集合，存在X→Y，若X’是X的真子集，存在X’→Y，則稱Y部分函數依賴于X。

5.傳遞函數依賴

設X,Y,Z是關系R中互不相同的屬性集合，存在X→Y(Y !→X),Y→Z，則稱Z傳遞函數依賴于X。（如果Y→X，則X→Z成立了）

用一個例子來了解上述的定義（A—\ →B表示A 不函數依賴于 B）

表1——學生(學号, 姓名, 性别, 年齡, 學院) 

假設我們做表不允許重名

學号→ 性别， 學号 → 年齡, 學号→ 學院，學号←→ 姓名,，姓名→ 性别， 姓名→ 年齡，姓名→ 學院，但性别—\ →Sage

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表2——學生課程（學号，課程，成績）

學号→課程，（學号，課程）→成績

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表3——學院系（學号，系名，系主任）

學号 → 系名，系名 → 系主任

在上述例子中：

平凡函數依賴： （學号，課程）→學号，（學号，課程）→課程。

因為學号和課程都是（學号，課程）的子集。

非平凡函數依賴： （學号，課程）→成績（資料庫中讨論得比較多是非平凡函數依賴，而平凡意義不大）

因為成績不是（學号，課程）的子集。

部分函數依賴：（學号，姓名）→ 性别 

因為（學号，姓名）→ 性别 且 學号 → 性别

完全函數依賴：（學号，課程号）→ 成績 

因為（學号，課程号）→ 成績，學号 —\→ 成績，課程号 —\→ 成績。

傳遞函數依賴： 學号 → 系主任 

因為學号 → 系名，系名 → 系主任 且 系名 —\→ 學号。

而多值依賴呢？給出定義

多值依賴的定義：

      設R(U)是一個屬性集合U上的一個關系模式，X, Y, 和Z是U的子集，并且Z=U-X-Y，多值依賴X->->Y成立當且僅當對R的任一個關系r，r在(X,Z)上的每個值對應一組Y的值，這組值僅僅決定于X值而與Z值無關。

      若X->->Y，而Z=空集，則稱X->->Y為平凡的多值依賴。否則，稱X->->Y為非平凡的多值依賴。

依然用函數的映射關系來了解，引入f（x，y），假設f（x，y）=+-（x^），若z=f（x，y），則一個x值可以得出兩個互為相反數的z。在這個二進制函數關系中，y的取值事實上是不影響結果的。類比到關系模式上，即x為X集的屬性值，y為Y集的屬性值，z為Z集的屬性值。

看看一個例子

（課程C） ——（教師T）—（參考書B）

 資料庫機率 —顧國生老師——數學分析

 資料庫機率 —顧國生老師——高等代數

 資料庫機率 —顧國生老師——微分方程

上述例子U{C,T,B},其中課程C和教師T唯一确定一組B，卻與T無關，經由C決定，然而T并不是空集，是以是非平凡的多值依賴。

事實上，當T為空的時候，如果C中的每一個值c對應B中的一個确定的值，則變為函數依賴，是以函數依賴是多值依賴的一種特殊情況。

總計下：

1. 函數依賴不是指關系模式R的某個或某些關系執行個體滿足的限制條件，而是指R的所有關系執行個體均要滿足的限制條件。

2. 函數依賴是語義範疇的概念。隻能根據資料的語義來确定函數依賴。（例如“姓名→年齡”這個函數依賴隻有在不允許有同名人的條件下成立）

3. 函數依賴通常以集合抽閑出來讨論。

4. 資料庫設計者根據需求對函數關系進行制定。例如認為“姓名→年齡”在特定表中可行。

5. 資料庫設計者根據現實規定做強制要求。例如規定不允許同名人出現，函數依賴“姓名→年齡”成立。所插入的元組必須滿足規定

的函數依賴，若發現有同名人存在， 則拒絕裝入該元組。