0引言
機械行業競争日趨激烈，産品高端化趨勢和全球工業革命的推動下，數字化轉型已成為企業的必然選擇。利用數字化仿真技術，實作全價值鍊數字化仿真分析優化，提前發現問題，事後量化分析改善，實作産品開發效率和可靠性全面提升。
小編是從結構設計轉向CAE仿真，深知對于非力學專業出身的工作者學習CAE仿真的難度，不僅在于軟體層面操作，更在于對理論基礎的學習和了解。剛從事CAE時，小編當時就很疑惑，為什麼需要畫網格、網格節點編号實體意義是什麼、網格品質為什麼着重關注雅克比、單元積分點指的是什麼…。由此，小編想結合自身的工作學習體會，與大家一起分享有限元仿真，講好每一課，一起感受CAE的魅力。
1彈性力學基本方程
在彈性力學分析中，需要通過靜力分析、幾何分析和實體分析建立描述物體變形狀态和應力狀态基本方程，将力學問題轉化為偏微分方程的邊值問題。針對三個方面建立的方程就是彈性力學中的三大基本方程：平衡方程、幾何方程和實體方程。
1.1平衡方程
平衡方程是描述應力分量和體力分量之間的微分關系方程。如圖1-1是在直角坐标系下微元體應力分布。平面AMBD的正應力，通過泰勒展開，可得到平面ECGF的正應力變為，類似可得到所有面的正應力和切應力。
圖1-1 微元體應力分布圖
根據微元體各力對x、y、z合力矩為0，可得切應力互等定理：
切應力互等定理
根據微元體上各力沿x軸合力為0的平衡條件可得：
其中為微元體x方向的體力分量，将方程兩端同時除以dxdydz并進行整理可得：
同理根據微元體y和z方向平衡條件亦可得對應方程。平衡方程如下式:
平衡方程
将平衡方程用矩陣表示為：
平衡方程矩陣表達
其中為A微分算子矩陣，σ為應力列陣，b為體力列陣：
1.2幾何方程
彈性力學中幾何方程是描述應變分量和位移分量間的微分關系方程。如圖1-2為微元體二維應變圖。
圖1-2 微元體二維應變圖
假設P坐标(x,y)，PA=dx,PB=dy,P'相對P在x方向移動u, 在y方向移動v，則A'相對A在x方向移動距離通過泰勒展開得，同理可得A'在y方向移動距離和B'在x、y方向移動距離。
變形後P'A'長度為:
于是可得正應變為:
同理可得其它應變方程。幾何方程如下式：
幾何方程
幾何方程可用矩陣描述：
其中為ε應變列陣，u為位移列陣，L為微分算子矩陣：
1.3實體方程
彈性力學中實體方程是描述應力分量和應變分量的關系方程。若材料為各項同性，根據材料力學中廣義胡克定律可得：
廣義胡克定律
其中E、、G分别為彈性模量、泊松比和剪切模量，三者之間關系：
将上式用應變表示應力的形式為：
其中
用拉梅常數形式表示為：
其中
彈性體的實體方程可用矩陣形式進行描述：
其中為ε應變列陣，σ為應力列陣，S為柔度矩陣，D為剛度矩陣。
2 邊界條件
求解彈性力學問題，除了基本方程外還需要定義邊界條件。在彈性體的邊界上，已知外力稱為應力邊界條件；已知位移，稱為位移邊界條件。如圖2-1為不同方向截面應力關系。
圖2-1 不同方向截面應力圖
由x方向平衡條件可得：
其中、、為截面法向量的方向餘弦。同理可得另外兩個方程。則應力邊界條件：
用矩陣表示為：
其中為σ應力矩陣，也稱為應力張量；n稱為方向餘弦矩陣；P為已知面力矩陣。
位移邊界條件表示為：
表示為矩陣形式：
其中為已知位移列陣：
3 最小勢能原理
最小勢能原理：在所有變形可能的位移場中，真實的位移場使總勢能泛函取最小值。根據最小勢能原理，真實位移場使得彈性體勢能泛函的變分為零，即：
其中為總勢能。滿足最小勢能原理的解一定滿足平衡方程及應力邊界條件。
彈性體總勢能為應變勢能Vε與外力勢能Vp之和:
如圖為彈性體單向應力狀态下應力和應變關系圖：
單向應力狀态下應變能密度：
将其擴充到一般情況上，總應變能：
其中為σ應力列陣，ε為應變列陣。
彈性體外力勢能：
其中b為體力列陣，S為面力列陣。
根據實體方程可知應力分量可以用應變分量表示，根據幾何方程可知應變分量可以用位移分量表示，是以應力分量也可以用位移分量表示，則彈性體總勢能可以表示為自變量為位移函數的函數。根據最小勢能原理，彈性問題轉為求勢能泛函極值問題。
4 執行個體講解
設有長度的簡支梁，受均布載荷q作用下，利用最小勢能原理求簡支梁的撓度方程。
根據邊界條件可假設近似解為：
根據應變勢能公式可得梁的應變勢能：
由材料力學可知：
将(c)式代入(b)式，梁的應變勢能可進一步表示：
由慣性矩公式可知：
将(e)式代入(d)式梁的應變勢能:
梁的外力勢能：
總勢能：
根據最小勢能原理，得到：
根據上式求出和，再帶回方程(a)中：
課後問題：
根據梁的邊界條件，假設撓曲線方程近似解如公式(k)，結果又是如何呢？