文章目錄
- 前言
- 一、直方圖均衡
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- 1.處理公式
- 2.MATLAB代碼
- 二、直方圖比對（規定化）
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- 1.處理原理
- 2.圖像中具體處理步驟
前言
直方圖反映了圖像整體灰階級的分布情況。
一、直方圖均衡
使圖像的灰階級分布更加均衡。
1.處理公式
（1）直方圖均衡的原理還是通過對灰階級變換得到均衡後的圖像灰階級：
s=T ( r ) （1） r為原圖灰階級，s為變換後的灰階級，T為變換函數
在直方圖進行中使用灰階級對應的機率密度函數（PDF）來進行計算，處理前後的灰階級的機率密度函數分别表示為 p r ( r ) p_r(r) pr(r), p s ( s ) p_s(s) ps(s)。
（2）若 p r ( r ) p_r(r) pr(r)和 T ( r ) T(r) T(r)為已知，則有：
p s ( s ) = p r ( r ) ∣ d s d r ∣ （ 2 ） p_s(s)=p_r(r)|\frac{ds}{dr}| （2） ps(s)=pr(r)∣drds∣（2）
此處公式來自于機率論：
其中h(y)是g(x)的反函數
由（1）式： r = T − 1 ( s ) r=T^{-1}(s) r=T−1(s)
（3）matlab中特别重要的變換函數如下：
s = T ( r ) = ( L − 1 ) ∫ 0 r p r ( w ) d w （ 3 ） s=T(r)=(L-1)\int_0^r{p_r(w)}dw（3） s=T(r)=(L−1)∫0rpr(w)dw（3）
此處L為灰階級總數，w是積分的假變量。
（4）由（1）式和（3）推導得：
d s d r = d T ( r ) d r = ( L − 1 ) d d r [ ∫ 0 r p r ( w ) d w ] （ 4 ） \frac{ds}{dr}=\frac{dT(r)}{dr}=(L-1)\frac{d}{dr}[\int_0^r{p_r(w)}dw]（4） drds=drdT(r)=(L−1)drd[∫0rpr(w)dw]（4）
（5）将（4）式帶入（2）式得：
p s ( s ) = p r ( r ) ∣ d s d r ∣ = p r ( r ) ∣ 1 ( L − 1 ) p r ( r ) ∣ = 1 L − 1 （ 5 ） p_s(s)=p_r(r)|\frac{ds}{dr}| =p_r(r)|\frac{1}{(L-1)p_r(r)}|=\frac{1}{L-1} （5） ps(s)=pr(r)∣drds∣=pr(r)∣(L−1)pr(r)1∣=L−11（5）
由（5）式，最終得到的 p s ( s ) p_s(s) ps(s)是均勻的，且與 p r ( r ) p_r(r) pr(r)的形式無關。
（6）以上是連續函數的表達式，但在圖像中，表現為離散資料，在圖像中中有：
p r ( r k ) = n k M N , k = 1 , 2 , , , L − 1 p_r(r_k)=\frac{n_k}{MN}, k=1,2,,,L-1 pr(rk)=MNnk,k=1,2,,,L−1
M，N分别圖像的長寬像素值，MN即圖像總像素數。 n k n_k nk為灰階值=k得像素數。與 r k r_k rk相對應的 p r ( r k ) p_r(r_k) pr(rk)成為圖像的直方圖。
（7）綜上，（3）式變為：
s k = T ( r k ) = ( L − 1 ) ∑ j = 0 k p r ( r j ) = ( L − 1 ) M N ∑ j = 0 k n j , k = 1 , 2 , , , L − 1 s_k=T(r_k)=(L-1)\sum_{j=0}^k{p_r(r_j)}=\frac{(L-1)}{MN}\sum_{j=0}^k{n_j}, k=1,2,,,L-1 sk=T(rk)=(L−1)j=0∑kpr(rj)=MN(L−1)j=0∑knj,k=1,2,,,L−1
變換 T ( r k ) T(r_k) T(rk)成為直方圖均衡或直方圖線性變換
2.MATLAB代碼
代碼如下（示例）：
clc;clear;close all
im1=imread('1.jpg'); %讀取圖像：彩色圖
figure
imshow(im1)
im2=rgb2gray(im1); %獲得灰階圖
figure
imshow(im2)
im3=histeq(im2); %直方圖均衡
figure
imshow(im3)
im4=adapthisteq(im2); %自适應直方圖均衡
figure
imshow(im4)
im5= imadjust(im2) %這個也能對圖像的對比度進行調節
figure
imshow(im5);
二、直方圖比對（規定化）
使圖像的直方圖變換成我們想要形狀的直方圖稱為直方圖比對或直方圖規定化
1.處理原理
通過步驟可以由一幅給定圖像得到灰階級具有指定機率密度函數的圖像：
1.由輸入圖像得到 p r ( r ) p_r(r) pr(r)，并由式(3.3-10)求得s的值。
2.使用式(3.3-11)中指定的PDF求得變換函數G(z)
3.求得反變換函數z=G’(s):因為z是由s得到的，是以該處理是s到z的映射，而後者正是我們期望的值。
4. 首先用式(3.3-10)對輸入圖像進行均衡得到輸出圖像:該圖像的像素值是s值。對均衡後的圖像中具有s值的每個像素執行反映射z=G’(s)，得到輸出圖像中的相應像素。當所有的像素都處理完後，輸出圖像的 PDF将等于指定的 PDF
公式3.3-10,3.3-11,3.3-12由下圖給出：
來自數字圖像處理第三版
2.圖像中具體處理步驟
公式和步驟由下圖給出