流形的簡單知識

1簡介

流形(manifold)是指局部具有歐氏空間性質的空間，是歐氏空間中的曲線、曲面等概念的推廣。歐氏就是最簡單的流形的執行個體。地球表面這樣的球面則是一個稍微複雜的例子。一般的流形可以通過把許多平直的片折彎并粘結而成。

    例如，人們曾經以為地球是平的。這是因為相對于地球來說，人類實在太小，平常看到的地面是地球表面微小的一部分。

    像旅行的時候，會用平面的地圖來訓示方位。如果将整個地球的各個地區的地圖合成一本地圖集，那麼在觀看各個地區的地圖後，就可以在腦海中“拼接”出整個地球的景貌。為了能讓讀者順利從一張地圖接到下一張，相鄰的地圖之間有重疊的部分，以便在腦海中“粘合”兩張圖。

描述一個流形往往需要不止一個“地圖”，因為一般來說流形并不是真正的歐氏空間，舉例來說，地球就沒法用一張平面的地圖來描繪。

流形要求局部“看起來像”簡單的空間，這并不是一個簡單的要求。例如，在地上吊一根繩，這個整體就不是一個流形。包含了線和球連接配接的那一點的附件區域一定不是簡單的：既不是線也不是面，無論這個區域有多小。

2引例

圓是除歐氏空間外的拓撲流的一個簡單例子。考慮一個半徑為1，圓心在原點的圓。若x和y是圓上的點的坐标，則有x^2+y^2=1。局部看來，圓像一條線，而線是一維的，換句話說，隻要一個坐标可以在局部描述一個圓，例如，圓的上半部分，y坐标大于0的部分。