關于除法，你也許覺得沒什麼值得談論的，畢竟國小的時候體育老師就教過我們了。然而對于程式設計中使用的除法，我覺得還是有很多值得注意的細節的。為什麼我想深究一下？因為我日常主要使用Java和Python程式設計，而它們的除法在細節上有很多不同之處，全是坑啊…是以接下來我也将着重于Java和Python，但是相信我，就算你不用Java和Python，也會有所收獲的。
1.整數除法
對兩個不能整除的整數做除法，就要面對舍入的問題。和大多數程式設計語言一樣，Java的基本政策是向零取整(round to zero)，也就是向絕對值變小的方向取整。舉幾個香甜的小栗子：3/2=1, -3/2=-1。而對于Python而言，情況就有所不同了。
全選複制放進筆記>>>-1/10
-1
顯然如果按照Java的取整政策，-1/10應該得0，而Python給出的結果是-1。事實上Python的取整方式是向下取整，也就是向着數軸上負無窮的方向取整。
好吧，Java和Python的取整方式不同，奪大點事兒啊…那麼如果我們要在Python下采用向零取整的結果，咋整？一種比較直接的方式是：
全選複制放進筆記>>>int(float(-1)/10)
2.取餘
誰說沒大事？(￣▽￣)大事來了！
Java和Python整數除法都遵循下面這個公式：
全選複制放進筆記(a/b)*b+c=a
也就是說：
全選複制放進筆記a mod b=c=a-(a/b)*b
這裡的/表示的是整數除法。既然它們的取整方式不一樣，那麼取餘也會受到影響：
全選複制放進筆記For Java: -2 % 3==-2
For Python: -2 % 3==1
在某些實際應用中，我們可能會被要求得到一個整數的各位數字。如果輸入的整數的正的，Java和Python都可以用相同的方法來解決：
全選複制放進筆記def func(a):
pos, res=1, []
while a/pos:
res+=(a/pos)%10,
pos*=10
return res
Java代碼也差不多就是這樣了。但如果輸入的整數是一個負數，Java版本的代碼還是可以得到正确的結果，而Python不能(曾經在這裡被坑的，舉手)。那怎樣用Python正确地搞定這個問題嘞？可以先去絕對值和符号，當正數來處理，最後再在結果裡搭上符号。
3. Follow-ups
3.1 Python中的另一個除法操作
我們知道，在Python中，基本的除号“/”是被重載了的。當兩個操作數都是整數時，進行整數除法，得到整數結果，否則進行浮點數除法(真除法)，得到浮點數結果。從Python 2.2開始，另一個除号被引入：//，它隻執行整數除法。注意，//的結果類型依操作數而定。
全選複制放進筆記>>>1.0/2
0.0
>>>1.0//2.0
0.0
>>>1//2
>0
另外，如果想同時得到商和餘數，可以使用内建的函數divmod，結果是一個tuple。
全選複制放進筆記>>>divmod(7, 2)
(3, 1)
>>>divmod(7.0, 2)
(3.0, 1.0)
3.2 Python中的舍入
除了預設的舍入方式，Python還有多種舍入可供選擇。
Floor rounding:
全選複制放進筆記>>>import math
>>>math.floor(1.2)
1.0
>>>math.floor(-1.2)
-2.0
Ceiling rounding:
全選複制放進筆記>>>math.ceil(1.2)
2.0
>>>math.ceil(-1.2)
-1.0
Round-off:
全選複制放進筆記>>>round(0.5)
1.0
>>>round(-0.4)
-0.0
>>>round(-0.5)
-1.0
内嵌的round函數也可以一個指定保留小數位數的參數：
全選複制放進筆記>>>round(0.21, 1)
0.2
>>>round(0.21, 2)
0.21
Caution !
全選複制放進筆記>>>round(2.675, 2)
2.67
咦？bug啦？！當然不是。這裡要明确一件事：計算機隻認識0,1(量子計算機？懵)。就是說，我們輸入的十進制數，在計算機内部都是用二進制來表示的。有的十進制數可以用二進制準确地表示出來,比如十進制的0.125可以表示為0b0.001；然而很多的小數是沒法用二進制數精确表示的，計算機裡存儲的是它們的近似值，例如十進制的0.1，用二進制表示，可以近似為: 0b0.00011001100110011001100110011001100110011001100110011010，是以當我們把它換回十進制數以輸出或者使用，得到的值就是0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625。也就是說，0.1在計算機裡并不是剛好等于1/10的。你看：
全選複制放進筆記>>>0.1+0.2
0.30000000000000004
同樣，當我們運作round()函數，也是對計算機中實際存儲的值近似取舍。2.67實際上近似為2.67499999999999982236431605997495353221893310546875，第三位小數是4，那麼round(2.675, 2)就相當于round(2.674, 2)，結果當然是2.67。值得注意的是，這種現象是廣泛存在于各種計算機和各種程式設計語言的，不是bug，隻是有的語言選擇了不讓你看到。
3.3 Java中的舍入
Java提供了floor和ceil方法來實作向下和向上取整。
全選複制放進筆記Math.floor(2.9)
Math.ceil(2.1)
這倆函數簡單友善，居家旅行必備。另外Java中也有個round函數，可以實作各種複雜的取整。
全選複制放進筆記System.out.println(Math.round(0.5));
//輸出 1
System.out.println(Math.round(-0.5));
//輸出 0
System.out.println(Math.round(-0.51));
//輸出 -1
這什麼鬼！Keep Calm and Carry On！
數學上有多種不同的政策來進行取整，比如我們體育老師教的四舍五入。各種取整政策的共同點就是要做真值作近似，那就會引入偏差。四舍五入顯然并不是一種公平的政策(想想0~4的舍和5~9的得)。
有一個叫做銀行家舍入(Banker’s Rounding)的東西，不造你聽過沒，反正我是最近才知道的。事實上.NET和VB6都是預設采用這種方式，而且IEEE 754預設采用這種Rounding。Banker’s Rounding 也就是round to even政策。
假設目前考慮那位的數字是d(其實d就是将不被保留的第一位)，如果d<5，則舍(round to zero)；如果d>5，則入(round away from zero)；而當d==5時，就要根據d前後的數位來确定往哪邊取了。
1) 如果d之後存在非零的數位，則入；
2)如果d之後不存在非零的數位，則看d之前的一個數位，用c表示：
a.如果c是奇數，則入；
b.如果c是偶數，則舍。
再來一把栗子，對下列數保留0位小數，
第一位小數就是d，整數位就是c：
BankRound(0.4)==0, BankRound(0.6)==1, BankRound(-0.4)==0, BankRound(-0.6)==-1
BankRound(1.5)==2.0, BankRound(-1.5)==-2.0, BankRound(2.5)==2.0, BankRound(-2.5)==-2.0
BankRound(1.51)==2.0, BankRound(-1.51)==-2.0, BankRound(2.51)==3.0, BankRound(-2.51)==-3.0
可以看出，Banker’s Rounding對正數和負數的處理是對稱的，是以不會引入符号帶來的偏差。另外它以均等的幾率來舍入數位(考慮c, c有各一半的幾率為奇數和偶數)，是以多次舍入後與真值的差别會較小。
扯了這麼多，跟Java的Math.round( )有什麼關系呢？我也是寫到這才發現，好像沒什麼軟(luan)關系。因為它并沒有遵循Banker’s rounding。而是按照以下政策進行取整：
當考慮的數位d不是5，d<5就舍，d>5則入。
當d==5：
a.如果d的右邊有非零數位，則入；
b.如果d的右邊沒有非零數位，則round to ceiling，即對負數舍，對正數入。
還有還有, 在Java裡可以使用BigDecimal和RoundingMode實作更通用的取整方式。
全選複制放進筆記double d=-2.5;
BigDecimal bd=new BigDecimal(d);
double nd=bd.setScale(0,
RoundingMode.HALF_EVEN).doubleValue();
System.out.println(nd);
//輸出 -2.0
setScale的第一個參數是保留的小數位數，第二個參數是舍入模式。可選的舍入模式有：
HALF_EVEN, 也就是銀行家方式；
HALF_UP, 四舍五入；
HALF_DOWN, 五舍六入；
CEILING、FLOOR, 向正無窮、負無窮方向；
UP、DOWN*, 向零和遠離零；
UNNECESSARY, 斷言舍入後的值和原值相等，也就是不需要舍入。如果斷言錯了，抛出ArithmeticException異常。
先寫到這，比較粗糙，但是希望你有所收獲吧。歡迎讨論，有話好好說(￣▽￣)
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