零點、極點的比喻

自覺浪費了很多時間在學校裡，在我那一直延續到三十多歲的求學生涯中，僅有兩門課可說修正了我的思維習慣。這兩門課都發生在加州理工學院。一門是Carver Mead教授的模拟IC設計，課程的内容已不再重要，隻記得Mead教授的課本開首的一句話：“我每多寫一個公式，就知道這本書的讀者會減少一半。”整個課本講述一個實習生去水壩工作的所見所聞。半導體的勢壘當然就是那水壩，載流子的移動是他感受到的從水壩上“飄過來”的水氣。整個課本幾乎沒有一個公式！

對知識真正的了解往往可以化作一種感覺。如果您能感覺到零點和極點的移動，普通的控制理論就不再是什麼深奧的學說。另一門課是Middlebrook教授的控制理論。Middlebrook和Cuk教授是開關電源控制理論的奠基者，他們的貢獻後來被我的大師兄Ericsson（雖然理論上我可以這樣叫他，但與他的水準實在相差太遠）寫在了《Fundamentals of Power Electronics》，至今我仍然認為那是一本該行業最好的教科書。上Middlebrook的課是一種享受。記得第一堂課他讓大家計算一個并不複雜的電路的傳遞函數，大家幾乎都“做對了”。 但當他指着我們延綿了三四行的算式問我們應當調整哪些參數時，大家終于明白：一個工程師所面對的未知量幾乎從來都比已知量多。我們從小做的作業和試題讓我 們相信多數問題都可以列出和未知數一樣多的方程。那門課就是教人如何抛棄不重要的量，或假設某些量可以抛棄，再驗證其合理性。最後剩下極少數可以清晰控制 的未知量。計算機可以代人驗證，卻大多不能代替人思考。

開關電源的控制理論是個十分抽象的、有時令人望而生畏的東西。系統不穩定卻是個常常會遇到的問題，如何調整？為何調好的系統大批量生産時又出問題？講理論的材料很多，大多數人還是覺得Unitrode的那幾篇最早的應用手冊最有用。這裡隻想講講俺一些不完全需要通過上半身就能感受到的東西。哈！開個玩笑。有了感覺再看Ericsson那幾百頁應當不那麼困難。因是講感覺，不周密之處難免，還望諒解。

先說極點，簡單的例子是一個RC濾波。對直流C是開路，對無限高頻Ｃ是短路，是以波特圖的幅值在極點前是平的，極點後開始以-20dB/dec下降。俺對極點的感覺就是一個男人。男人通常開始熱情高漲，但多半經不起時間的考驗。無論是對愛情，還是日漸稀松的頭發，男人大抵都是如此。

這樣零點當然就是女人。簡單的例子是一個電容的ESR零點。在直流時，電容的阻值是無窮大，随着頻率的增高，阻值不斷下降，到極點以後，剩下ESR電阻的阻值就再也不減小了。男人是火，則女人是水，女人雖不見得轟轟烈烈，卻多半比男人更有耐力。女人對愛情多半也是刻骨銘心的，看看安娜•卡列尼娜和他的情人就不難了解男人和女人的差別。

講完男人女人，輪到兩個男人。俺不幸在舊金山附近呆了很久，但這裡不想談論同志（多好的詞啊，糟蹋了）的問題。一個LC濾波組成了雙極點。兩個男人難免起沖突，這就像那高高的Q值。一個沒有寄生電阻的LC有無窮高的Q值，會把那個諧振頻率的信号放大很多，這是我們當年調一個小電容就能在收音機裡收到不同電台的原因。兩個男人沖突的很厲害對電源可不是什麼好事。而沖突的程度是取決于寄生的電阻值，或者說是取決于勸架的強度（學名叫阻尼）。一個Q值很高的系統，相位很快就從0°到了-180°，非常容易不穩定，也難以補償。是以一般效率高的系統（電阻成分小）不易穩定。

對不穩定的系統要做補償。補償通常是加一個零點，但同時多半會産生一個高頻的極點。比如說在回報端加一個電容，就會産生一個零點和極點對。俺對零點極點對的 了解就是談了一次戀愛。零點首先介入，正如女人在談戀愛的開始多半較強勢，對于大多數男人，那是他唯一有興趣陪女人逛商店的時候。接下來真情的、非真情的 或至少當時是真情的山盟海誓之後，男人和女人走到一起。男人的愛情極點多半是要發生的，如果發生在其生命極點之前那将是一場悲劇，反之則被稱為不朽的愛 情。

對于回報系統來說，一個極點減小了幅值（有利于穩定），也減少了相位裕度（不利于穩定）；一個零點則增大了幅值（不利于穩定），但增大了相位裕度（利于穩 定）；是以他們都是做了一件好事，一件壞事。唯有右半平面的零點，她既增大了幅值，又減少了相位裕度，也就是做了兩件壞事。這樣的女人隻能用巫婆來形容。 簡單的例子是升壓電路：主動管開通時，電感儲存能量；二極管導通時，電感将儲存的能量交給負載。負載得到的電流大約是IL(1-D)。對兩個變量求導，低頻時電感阻礙電流上升，高頻時隻有－ILd一項。前面已經知道，幅值從下降到不變的正好像電容的ESR一樣是個零點，不同的是有個負号。當負載增加，D會變大以提供更多的電流。但由于輸出電流瞬間和 （1-D）成正比，D的增大瞬時反而造成輸出電流的減少。正是這個負号将女人變成了巫婆。

大家知道，我們用的都是負回報系統。輸出多了，就在控制的地方減一點，變化就不會太大。但環路本身大多是有相位滞後的，如果對于某一頻率的信号，環路本身相位滞後180°時增益大于1 ，那麼加上負回報的180°就是360°。負回報變成正回報了。而且每在回路轉一圈幅值都變大，自然就不穩定了。是以系統穩定的條件是轉一圈增益為1時（ 0dB），相位滞後要小于180°（考慮裕度，一般要小于135°）。用《塵埃落定》裡那個傻子也能了解的話說，就是要像個男人（相位滞後90°，相當一個極點）或一個半男人（相位滞後135°，相當一個半極點）一樣死去（到達0dB）。

讓我們來看個例子，對于電流型的buck，電感上的電流被限制住了，于是可憐的電感失去了發言權（嚴格地說是最前排的發言權）。主電路隻剩下一個Rload和Cout組成的極點（男人2）和輸出電容的ESR零點(女人1)。當然控制部分肯定有個很低頻的極點（男人1）。也就是說我們有兩個男人，有了不穩定的危險，關鍵看ESR的零點(女人1)在哪兒。電解電容的零點頻率很低，是以很可能部分中和了一個男人，于是可能不需要任何補償。而陶瓷電容的零點頻率很高，是以我們很可能要通過加女人的辦法進行補償（一般是一個零點極點對，也就是談一次戀愛才能穩定）。

對于電壓型的buck，L和Cout組成了雙極點（男人2和男人3），加上控制部分的極點（男人1）。我們面臨的可能是三個男人。毫無疑問，為了要像一個男人一樣死去，我們要加一個或兩個零極點對。顯然電壓型的buck不易穩定。像躁動的少年，免不了多談幾次戀愛才能成熟。

最後講講開關電路的零點極點都是如何推導出來的。真要俺在這一步步推還不定卡在哪兒，還是講講曆史比較有趣。話說開關電源出現時，一般的控制理論已很成熟， 可都是對一個固定的電路。開關電源這厮不光呆在一個狀态，有時甚至會有三個以上的狀态。這些狀态對應了不同的狀态方程，究竟怎麼描述整體電路哪？Middlebrook當時引入了用占空比權重平均的辦法，成功解決了這一問題。其實很好了解。比如你每往東走一步，接着就往北走一步，描述你軌迹的就是50%*東＋50%*北＝東北方。如果每往東走三步，接着就往北走一步，描述你軌迹的就是75%*東＋25%*北＝東偏北方。将不同開關狀态的狀态方程權重相加，加入小信号幹擾，整理後就會得出不同電路的零點極點。

俺這也就是瞎子摸象，若碰上大學問家，千萬别跟俺一般見識。歡迎批評，指正就不必了，沒人會把俺講的“感覺"真當什麼學問的。能把枯燥的學問變成有趣的人物，不亦樂乎？