原碼、補碼、反碼與移碼

在現實生活中我們常常用“+”，“-”号來表示一個數的正負（真值），但是在計算機中無法用正負号表示，是以用二進制的最高位為1表示負，0表示正。而小數則用 ‘.’ 隔開符号位與數值，整數用‘，’号隔開。假設用5位表示，則+6為0,0110 -6則為1，0110 。+0.0001則表示為0.0001，-0.0001則表示為1.0001。

一、原碼：

1.整數表示：

用最高位表示正負的二進制代碼稱為原碼，如上所述。

而負數如-6 : 1,0110。相當于0110加上10000（10000-（-0110）） 即24。

是以原碼的表達式可以寫成：

注：這裡2n和-2n取不到，因為最高位為符号位，那麼最大也隻能為0,1111即24-1,最小為1,1111即-（24-1) = -24+1。而0有兩種表示，即0,0000或1,0000（24+0)

是以原碼整數0有兩種表示方法

2.小數：

小數-0.0001可以表示為1.0001，相當于0.0001加上1。

是以小數原碼表達式為：

小數0也有兩種表示即0.0000和1.0000。

二、補碼

以時鐘為例，當從6點到4點可以用6-2 = 4或6+10 = 16，再對16模12餘4。是以減一個數相當于加上這個數的補數。例：10-2 = 8 也可寫成10 + 8 = 18 再模10餘8。而上面的12（鐘）和10都是當兩個數相加滿了的時候進一位所代表的值。而相應的補數是用12或10減去之前的2來得到的。

1.整數：

如-1011，首先對其取補數用10000+（-1011）= 00101。但是怎麼來區分0,0101是-1011的補數還是隻是+1011？是以我們用最高位為1表示為負數的補數(相當于加上24)。是以-1011的補數為1,0101。

是以0,1010(10)-0,1011(11) = 0,1010+1,0101 = 1,1111(-1)。

注: 這裡1,0101最高位即符号位也參與了運算。

是以整數補碼表達式如下：

這裡為2n+1是因為第一次求補數加了2n,然後用最高位為1表示是負數的補數又加了2n。-2n能取到因為2n+1-2n=2n，是以-24為1,0000。這裡的0隻有一種表示形式因為10,0000 + 0 = 10,0000而因為隻能用5位表示是以最高位的1被舍掉，是以0表示為0,0000與+0一樣。

是以補碼的0隻有一種表示。

2.小數：

三、反碼

1.整數：

如上面10000+（-1011）= 00101所述，10000可以寫成0,1111+1

是以上面可以寫成0,1111-1011+1即0,0101+1。因為二進制中隻有0、1，是以1減去一個數，相當于對這個數取反。

是以補碼又可以用一種更快的方式表示，即除符号位外，其他位取反，然後得到的值再加上1。如-1011即1,1011的補碼可以表示為1,0100+1=1,0101。

而取反得到的1,1011為反碼。

正數的反碼與原碼、補碼一樣，是以反碼整數的表達式為：

0有兩種表示0,0000和0,1111。

是以反碼的0有兩種表示方法。

2.小數：

四、移碼

有時候當看補碼無法看出大小，如1,0101(-1011)和0,1111可能會誤以為1,0101更大，是以為了更好的區分,把兩位數都加10000得到0,0101和1,1111注意這裡的1在移碼中隻是一個數，不是符号位。

是以移碼的表達式為2n+x,x為真值。

計算機中數大多都用補碼表示，因為：

1.補碼中0隻有一種表示形式。

2.補碼符号位也參與了計算。

3.由于0隻用一種表示法，則可以多表示一位負數。

4.用補碼後，減法變成了加法，計算機隻用做加法，不用專門設定減法器了。