前言
在本地Markdown下寫的,傳上來後公式不能對齊😠
在大學的時候接觸過幾次傅裡葉變換的知識,但是從來沒真正懂過.也在網上找過很多資料,看過很多視訊,但是,這些内容要麼舉些簡單的例子說說直覺上的了解,要麼就是直接堆出公式沒有任何推導.
直到一個巧合在B站上看到這樣一個視訊才真正搞懂,非常感謝這位UP主DR_CAN.這篇部落格也主要是對視訊中的推導模仿一遍.同時記錄下筆記友善複習.
另外,記錄當時一條印象很深的彈幕: 根本就沒有人會學不懂數學,隻是缺乏推導過程.
詳細過程
1. 推導中的重要數學公式
三角函數系： { 1 , s i n ( x ) , c o s ( x ) , s i n ( 2 x ) , c o s ( 2 x ) , s i n ( 3 x ) , c o s ( 3 x ) , . . . , s i n ( n x ) , c o s ( n x ) } \{1,sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x),sin(3x),cos(3x),...,sin(nx),cos(nx)\} {1,sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x),sin(3x),cos(3x),...,sin(nx),cos(nx)}
在這個三角函數系裡有個重要的性質,也就是傅裡葉變換的推導精髓所在：
在三角函數系裡任取兩個不同的函數 f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)(1也可以看作一個函數).都有一下公式成立:
∫ − π π f ( x ) g ( x ) d x = 0 \int_{-\pi}^{\pi}f(x)g(x)dx=0 ∫−ππf(x)g(x)dx=0
比如說: ∫ − π π s i n ( 4 x ) c o s ( 7 x ) d x = 0 \int_{-\pi}^{\pi}sin(4x)cos(7x)dx=0 ∫−ππsin(4x)cos(7x)dx=0, ∫ − π π 1 ⋅ s i n ( 9 x ) d x = 0 \int_{-\pi}^{\pi}1\cdot sin(9x)dx=0 ∫−ππ1⋅sin(9x)dx=0, ∫ − π π s i n ( x ) c o s ( x ) d x = 0 \int_{-\pi}^{\pi}sin(x)cos(x)dx=0 ∫−ππsin(x)cos(x)dx=0 , … …
如果取得 f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)兩個函數是相同的,那麼
∫ − π π 1 ⋅ 1 d x = 2 π , ∫ − π π s i n ( n x ) s i n ( n x ) d x = π , ∫ − π π c o s ( n x ) c o s ( n x ) d x = π ( n = 1 , 2 , 3... ) \int_{-\pi}^{\pi}1 \cdot 1dx=2\pi,\int_{-\pi}^{\pi}sin(nx)sin(nx)dx=\pi,\int_{-\pi}^{\pi}cos(nx)cos(nx)dx=\pi \quad (n=1,2,3...) ∫−ππ1⋅1dx=2π,∫−ππsin(nx)sin(nx)dx=π,∫−ππcos(nx)cos(nx)dx=π(n=1,2,3...)
(這就不證明了,積分算一下就可以得到)
結論就是：任取三角函數系的不同函數相乘在一個周期的積分都為0.隻有相同的函數才不為0.
歐拉公式：
e i θ = c o s ( θ ) + i s i n ( θ ) e^{i\theta}=cos(\theta)+isin(\theta) eiθ=cos(θ)+isin(θ)
簡單地了解,歐拉公式就是複數的另一種表示形式. e i θ e^{i\theta} eiθ就看作複數.
2. 傅裡葉級數
先讨論周期函數 f ( t ) f(t) f(t),周期為 T T T. 也就是 f ( t ) = f ( t + T ) f(t) = f(t+T) f(t)=f(t+T).
傅裡葉級數本質就是用這無窮多個三角函數來表示或者無限近似函數 f ( t ) f(t) f(t).公式如下
f ( t ) = a 0 + ∑ n = 1 ∞ [ a n c o s ( n t ) + b n s i n ( n t ) ] f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}[a_ncos(nt)+b_nsin(nt)] f(t)=a0+n=1∑∞[ancos(nt)+bnsin(nt)]
在上面的三角函數系裡除了 1 , s i n ( x ) , c o s ( x ) 1,sin(x),cos(x) 1,sin(x),cos(x),其他函數其實都是在 s i n ( x ) , c o s ( x ) sin(x),cos(x) sin(x),cos(x)的乘上一個系數.這裡 s i n ( x ) , c o s ( x ) sin(x),cos(x) sin(x),cos(x)的 T = 2 π 1 T=\frac{2\pi}{1} T=12π.我們令 w = 2 π T w=\frac{2\pi}{T} w=T2π. 稱 w w w為基頻率.在上面的三角函數系裡基頻率就是1.如果把最開始的 s i n ( x ) , c o s ( x ) sin(x),cos(x) sin(x),cos(x)換成 s i n ( 1.5 x ) , c o s ( 1.5 x ) sin(1.5x),cos(1.5x) sin(1.5x),cos(1.5x).那麼整個三角函數系就變了啊.基頻率也就變了.是以我們還需要一個變量 w w w來描述三角函數系長什麼樣子.上面公式沒有 w w w隻是因為碰巧 w = 1 w=1 w=1而已.是以傅裡葉級數完整公式如下.(太啰嗦了… …)
f ( t ) = a 0 + ∑ n = 1 ∞ [ a n c o s ( n w t ) + b n s i n ( n w t ) ] f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}[a_ncos(nwt)+b_nsin(nwt)] f(t)=a0+n=1∑∞[ancos(nwt)+bnsin(nwt)]
寫到這裡其實就差不多了,但是歐拉說這裡我必須要插一腳.這個公式太難看了.
根據歐拉公式有
e i n w t = c o s ( n w t ) + i s i n ( n w t ) e − i n w t = c o s ( n w t ) − i s i n ( n w t ) e^{inwt}=cos(nwt)+isin(nwt) \\ e^{-inwt}=cos(nwt)-isin(nwt) einwt=cos(nwt)+isin(nwt)e−inwt=cos(nwt)−isin(nwt)
那麼
c o s ( n w t ) = e i n w t + e − i n w t 2 , s i n ( n w t ) = e i n w t − e − i n w t 2 i cos(nwt)=\frac{e^{inwt}+e^{-inwt}}{2},sin(nwt)=\frac{e^{inwt}-e^{-inwt}}{2i} cos(nwt)=2einwt+e−inwt,sin(nwt)=2ieinwt−e−inwt
帶入上式
f ( t ) = a 0 + ∑ n = 1 ∞ [ a n e i n w t + e − i n w t 2 + b n e i n w t − e − i n w t 2 i ] f ( t ) = a 0 + ∑ n = 1 ∞ ( a n − i b n 2 ) e i n w t + ∑ n = 1 ∞ ( a n + i b n 2 ) e − i n w t f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}[a_n\frac{e^{inwt}+e^{-inwt}}{2}+b_n\frac{e^{inwt}-e^{-inwt}}{2i}] \\ f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{a_n-ib_n}{2})e^{inwt}+\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{a_n+ib_n}{2})e^{-inwt} f(t)=a0+n=1∑∞[an2einwt+e−inwt+bn2ieinwt−e−inwt]f(t)=a0+n=1∑∞(2an−ibn)einwt+n=1∑∞(2an+ibn)e−inwt
還不夠好看啊,好像也不能再化簡了吧.(但是接下來這個操作很帥,注意細節)
f ( t ) = ∑ n = 0 0 a n e i n w t + ∑ n = 1 ∞ ( a n − i b n 2 ) e i n w t + ∑ n = − 1 − ∞ ( a − n + i b − n 2 ) e i n w t f ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n e i n w t f(t)=\sum_{n=0}^{0}a_ne^{inwt}+\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{a_n-ib_n}{2})e^{inwt}+\sum_{n=-1}^{-\infty}(\frac{a_{-n}+ib_{-n}}{2})e^{inwt} \\ f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_ne^{inwt} f(t)=n=0∑0aneinwt+n=1∑∞(2an−ibn)einwt+n=−1∑−∞(2a−n+ib−n)einwtf(t)=n=−∞∑∞cneinwt
其中
當 n = 0 時 , c n = a 0 當 n = 1 , 2 , 3... 時 , c n = a n − i b n 2 當 n = − 1 , − 2 , − 3... 時 , c n = a − n + i b − n 2 當n=0時,c_n=a_0 \\ 當n=1,2,3...時,c_n=\frac{a_n-ib_n}{2}\\ 當n=-1,-2,-3...時,c_n=\frac{a_{-n}+ib_{-n}}{2} 當n=0時,cn=a0當n=1,2,3...時,cn=2an−ibn當n=−1,−2,−3...時,cn=2a−n+ib−n
雖然很簡潔,但是本質上都是一樣的,隻是公式的恒等變形.🤒
3. 周期函數傅裡葉變換
分析上面的公式, t t t是變量,其實sin,cos裡面都是固定的.不知道的隻有 a 0 , a n , b n a_0,a_n,b_n a0,an,bn.如果知道了 a 0 , a n , b n a_0,a_n,b_n a0,an,bn,那函數 f ( t ) f(t) f(t)就寫成了三角函數之和的形式了.下面就來求 a 0 , a n , b n a_0,a_n,b_n a0,an,bn.
先求 a 0 a_0 a0,對上式左右兩邊同時乘上 1 1 1,也就是同時乘上 c o s ( 0 t ) cos(0t) cos(0t),再從 0 0 0到 T T T積分
∫ 0 T f ( t ) d t = ∫ 0 T a 0 d t + ∫ 0 T ∑ n = 1 ∞ [ a n c o s ( n w t ) + b n s i n ( n w t ) ] d t ∫ 0 T f ( t ) c o s ( 0 t ) d t = ∫ 0 T a 0 c o s ( 0 t ) d t + ∫ 0 T ∑ n = 1 ∞ [ a n c o s ( n w t ) c o s ( 0 t ) + b n s i n ( n w t ) c o s ( 0 t ) ] d t \int_0^T f(t)dt=\int_0^T a_0dt+ \int_0^T \sum_{n=1}^{\infty}[a_ncos(nwt)+b_nsin(nwt)]dt \\ \int_0^T f(t)cos(0t)dt=\int_0^T a_0cos(0t)dt+ \int_0^T \sum_{n=1}^{\infty}[a_ncos(nwt)cos(0t)+b_nsin(nwt)cos(0t)]dt ∫0Tf(t)dt=∫0Ta0dt+∫0Tn=1∑∞[ancos(nwt)+bnsin(nwt)]dt∫0Tf(t)cos(0t)dt=∫0Ta0cos(0t)dt+∫0Tn=1∑∞[ancos(nwt)cos(0t)+bnsin(nwt)cos(0t)]dt
寫到這裡應該就可以知道三角函數系的結論能幹什麼了吧😃
上式最右邊那項裡面 c o s ( n w t ) c o s ( 0 t ) cos(nwt)cos(0t) cos(nwt)cos(0t),對它積分不就等于0嘛. s i n ( n w t ) c o s ( 0 t ) sin(nwt)cos(0t) sin(nwt)cos(0t),對它積分也等于0.因為他們在三角函數系是不同的函數啊.是以
∫ 0 T f ( t ) d t = ∫ 0 T a 0 c o s ( 0 t ) d t + 0 ∫ 0 T f ( t ) d t = ∫ 0 T a 0 d t = T ⋅ a 0 a 0 = 1 T ∫ 0 T f ( t ) d t \int_0^T f(t)dt=\int_0^T a_0cos(0t)dt+0 \\ \int_0^T f(t)dt=\int_0^T a_0dt =T \cdot a_0\\ a_0=\frac{1}{T}\int_0^T f(t)dt ∫0Tf(t)dt=∫0Ta0cos(0t)dt+0∫0Tf(t)dt=∫0Ta0dt=T⋅a0a0=T1∫0Tf(t)dt
接着算 a n a_n an,這裡 n = 1 , 2 , 3... n=1,2,3... n=1,2,3... 對傅裡葉級數公式左右兩邊同時乘上 c o s ( m w t ) cos(mwt) cos(mwt),再從 0 0 0到 T T T積分
f ( t ) = a 0 + ∑ n = 1 ∞ [ a n c o s ( n w t ) + b n s i n ( n w t ) ] ∫ 0 T f ( t ) c o s ( m w t ) d t = ∫ 0 T a 0 c o s ( m w t ) d t + ∫ 0 T c o s ( m w t ) ∑ n = 1 ∞ [ a n c o s ( n w t ) + b n s i n ( n w t ) ] d t ∫ 0 T f ( t ) c o s ( m w t ) d t = ∫ 0 T a 0 c o s ( 0 t ) c o s ( m w t ) d t + ∫ 0 T c o s ( m w t ) ∑ n = 1 ∞ [ a n c o s ( n w t ) + b n s i n ( n w t ) ] d t f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}[a_ncos(nwt)+b_nsin(nwt)] \\ \int_0^T f(t)cos(mwt)dt=\int_0^T a_0cos(mwt)dt+ \int_0^T cos(mwt)\sum_{n=1}^{\infty}[a_ncos(nwt)+b_nsin(nwt)]dt \\ \int_0^T f(t)cos(mwt)dt=\int_0^T a_0cos(0t)cos(mwt)dt+ \int_0^T cos(mwt)\sum_{n=1}^{\infty}[a_ncos(nwt)+b_nsin(nwt)]dt f(t)=a0+n=1∑∞[ancos(nwt)+bnsin(nwt)]∫0Tf(t)cos(mwt)dt=∫0Ta0cos(mwt)dt+∫0Tcos(mwt)n=1∑∞[ancos(nwt)+bnsin(nwt)]dt∫0Tf(t)cos(mwt)dt=∫0Ta0cos(0t)cos(mwt)dt+∫0Tcos(mwt)n=1∑∞[ancos(nwt)+bnsin(nwt)]dt
看到了吧,三角函數系的結論又來了,對 c o s ( 0 t ) c o s ( m w t ) , s i n ( n w t ) c o s ( m w t ) cos(0t)cos(mwt),sin(nwt)cos(mwt) cos(0t)cos(mwt),sin(nwt)cos(mwt)的積分又都是0了.隻有 c o s ( n w t ) c o s ( n w t ) cos(nwt)cos(nwt) cos(nwt)cos(nwt)的積分才不等于0,對于其他 m ≠ n , c o s ( m w t ) c o s ( n w t ) m \ne n,cos(mwt)cos(nwt) m=n,cos(mwt)cos(nwt)的積分也是0,是以求和符号也就沒了
∫ 0 T f ( t ) c o s ( m w t ) d t = 0 + ∫ 0 T ∑ n = 1 ∞ a n c o s ( n w t ) c o s ( m w t ) d t + ∫ 0 T ∑ n = 1 ∞ b n s i n ( n w t ) c o s ( m w t ) d t ∫ 0 T f ( t ) c o s ( m w t ) d t = ∫ 0 T a m c o s ( m w t ) c o s ( m w t ) d t + 0 ∫ 0 T f ( t ) c o s ( m w t ) d t = ∫ 0 T a m c o s 2 ( m w t ) d t = a m ∫ 0 T 1 + c o s ( 2 m w t ) 2 d t = T 2 a m a m = 2 T ∫ 0 T f ( t ) c o s ( m w t ) d t ( m = 1 , 2 , 3... ) a n = 2 T ∫ 0 T f ( t ) c o s ( n w t ) d t ( n = 1 , 2 , 3... ) \int_0^T f(t)cos(mwt)dt=0+ \int_0^T \sum_{n=1}^{\infty}a_ncos(nwt)cos(mwt)dt+\int_0^T \sum_{n=1}^{\infty}b_nsin(nwt)cos(mwt)dt \\ \int_0^T f(t)cos(mwt)dt=\int_0^T a_mcos(mwt)cos(mwt)dt+0 \\ \int_0^T f(t)cos(mwt)dt=\int_0^T a_mcos^2(mwt)dt=a_m\int_0^T \frac{1+cos(2mwt)}{2}dt= \frac{T}{2}a_m \\ a_m = \frac{2}{T}\int_0^T f(t)cos(mwt)dt \quad (m=1,2,3...) \\ a_n = \frac{2}{T}\int_0^T f(t)cos(nwt)dt \quad (n=1,2,3...) ∫0Tf(t)cos(mwt)dt=0+∫0Tn=1∑∞ancos(nwt)cos(mwt)dt+∫0Tn=1∑∞bnsin(nwt)cos(mwt)dt∫0Tf(t)cos(mwt)dt=∫0Tamcos(mwt)cos(mwt)dt+0∫0Tf(t)cos(mwt)dt=∫0Tamcos2(mwt)dt=am∫0T21+cos(2mwt)dt=2Tamam=T2∫0Tf(t)cos(mwt)dt(m=1,2,3...)an=T2∫0Tf(t)cos(nwt)dt(n=1,2,3...)
求得了 a n a_n an,來算 b n b_n bn. 其實很明顯能觀察到的相似性,我們根據 a n a_n an的規律直接得出 b n b_n bn
b n = 2 T ∫ 0 T f ( t ) s i n ( n w t ) d t ( n = 1 , 2 , 3... ) b_n = \frac{2}{T}\int_0^T f(t)sin(nwt)dt \quad (n=1,2,3...) bn=T2∫0Tf(t)sin(nwt)dt(n=1,2,3...)
現在把 a 0 , a n , b n a_0,a_n,b_n a0,an,bn,帶入上面求 c n c_n cn的公式
當 n = 0 n=0 n=0時
c n = a 0 = 1 T ∫ 0 T f ( t ) d t = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i w ⋅ 0 d t c_n=a_0=\frac{1}{T}\int_0^T f(t)dt=\frac{1}{T}\int_0^T f(t)e^{-iw \cdot 0}dt cn=a0=T1∫0Tf(t)dt=T1∫0Tf(t)e−iw⋅0dt
當 n = 1 , 2 , 3... n=1,2,3... n=1,2,3...時
c n = a n − i b n 2 = 2 T ∫ 0 T f ( t ) c o s ( n w t ) d t − i ⋅ 2 T ∫ 0 T f ( t ) s i n ( n w t ) d t 2 = 1 T ∫ 0 T f ( t ) [ c o s ( n w t ) − i s i n ( n w t ) ] d t = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n w t d t c_n=\frac{a_n-ib_n}{2} = \frac{\frac{2}{T}\int_0^T f(t)cos(nwt)dt-i\cdot\frac{2}{T}\int_0^T f(t)sin(nwt)dt }{2} \\ =\frac{1}{T}\int_0^{T}f(t)[cos(nwt)-isin(nwt)]dt \\ =\frac{1}{T}\int_0^{T}f(t)e^{-inwt}dt cn=2an−ibn=2T2∫0Tf(t)cos(nwt)dt−i⋅T2∫0Tf(t)sin(nwt)dt=T1∫0Tf(t)[cos(nwt)−isin(nwt)]dt=T1∫0Tf(t)e−inwtdt
當 n = − 1 , − 2 , − 3... n=-1,-2,-3... n=−1,−2,−3...時
c n = a − n + i b − n 2 = 2 T ∫ 0 T f ( t ) c o s ( − n w t ) d t + i ⋅ 2 T ∫ 0 T f ( t ) s i n ( − n w t ) d t 2 = 1 T ∫ 0 T f ( t ) [ c o s ( n w t ) − i s i n ( n w t ) ] d t = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n w t d t c_n=\frac{a_{-n}+ib_{-n}}{2} = \frac{\frac{2}{T}\int_0^T f(t)cos(-nwt)dt+i\cdot\frac{2}{T}\int_0^T f(t)sin(-nwt)dt }{2} \\ =\frac{1}{T}\int_0^{T}f(t)[cos(nwt)-isin(nwt)]dt \\ =\frac{1}{T}\int_0^{T}f(t)e^{-inwt}dt cn=2a−n+ib−n=2T2∫0Tf(t)cos(−nwt)dt+i⋅T2∫0Tf(t)sin(−nwt)dt=T1∫0Tf(t)[cos(nwt)−isin(nwt)]dt=T1∫0Tf(t)e−inwtdt
我們驚奇地發現對于任意整數 n n n, c n c_n cn的表達式都是一樣的.😂
總結上面的公式
f ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n e i n w t 其 中 , c n = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n w t d t f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_ne^{inwt} \quad 其中,c_n=\frac{1}{T}\int_0^{T}f(t)e^{-inwt}dt f(t)=n=−∞∑∞cneinwt其中,cn=T1∫0Tf(t)e−inwtdt
其中 c n c_n cn是可以通過上面公式算出來的複數.而 e e e的指數 i n w t inwt inwt,對于每一個不同的函數 f ( t ) f(t) f(t)其實都是一樣的.那麼決定函數的不同其實就是 c n c_n cn.我們知道一系列這樣的 ( t , f ( t ) ) (t,f(t)) (t,f(t))對就可以畫出函數圖像,也就是說這樣的 ( t , f ( t ) ) (t,f(t)) (t,f(t))能夠唯一确定函數.但是現在我們的函數由這樣的 ( n , c n ) (n,c_n) (n,cn)對來确定了.其實也就是說函數表示發生了轉化–從時域到頻域的轉化.函數值是不變的,它們等号連接配接的嘛.隻是表訴的方式改變了.如下圖
(上圖右邊縱軸 c n c_n cn其實是個複數,可以了解為應該有兩個次元,一個實部,一個虛部,但是這裡為了簡單畫圖,就把它畫成了實數.但其實它是個複數.)
4. 任意函數傅裡葉變換
對于一個非周期函數,我們可以假設它是個周期函數,它的周期 T → + ∞ T \to + \infty T→+∞.就可以用上面的公式求出了.
w w w是基頻率. w = 2 π T w=\frac{2\pi}{T} w=T2π.當 T → + ∞ T \to + \infty T→+∞時, w → 0 w\to 0 w→0. w = ( n + 1 ) w − n w = Δ w w=(n+1)w-nw=\Delta w w=(n+1)w−nw=Δw.是以 Δ w → 0 \Delta w \to 0 Δw→0.
從上圖可以看到,随着 Δ w → 0 \Delta w \to 0 Δw→0, n w nw nw會從一個離散的量變為一個連續的變量.
對于上小節中 c n c_n cn可以寫作
c n = 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) e − i n w t d t c_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-inwt}dt cn=T1∫−2T2Tf(t)e−inwtdt
那麼,對于任意函數的變換為
f ( t ) = lim T → ∞ ∑ n = − ∞ ∞ 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) e − i n w t d t e i n w t = lim Δ w → 0 ∑ n = − ∞ ∞ Δ w 2 π ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − i n w t d t e i n w t f(t) = \lim_{T\to \infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-inwt}dt\ e^{inwt} \\ = \lim_{\Delta w \to 0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{\Delta w}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-inwt}dt\ e^{inwt} f(t)=T→∞limn=−∞∑∞T1∫−2T2Tf(t)e−inwtdt einwt=Δw→0limn=−∞∑∞2πΔw∫−∞+∞f(t)e−inwtdt einwt
當 Δ w → 0 \Delta w\to 0 Δw→0時, ( n + 1 ) w (n+1)w (n+1)w和 n w nw nw就幾乎相等.令 W = n w W=nw W=nw,( w w w是一經确定就不變的量, n n n才是離散的變量),那麼就可以把 W W W看作連續變化的量.是以上式求和就可寫作求積分
f ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π ( ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − i W t d t ) e i W t d W = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ ( ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − i W t d t ) e i W t d W f(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{2\pi}(\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-iWt}dt)\ e^{iWt} dW \\ =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}(\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-iWt}dt)\ e^{iWt} dW f(t)=∫−∞+∞2π1(∫−∞+∞f(t)e−iWtdt) eiWtdW=2π1∫−∞+∞(∫−∞+∞f(t)e−iWtdt) eiWtdW
其中, ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − i W t d t \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-iWt}dt ∫−∞+∞f(t)e−iWtdt的積分變量是 t t t,也就是說它是關于 W W W的函數.令
F ( W ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − i W t d t F(W) =\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-iWt}dt F(W)=∫−∞+∞f(t)e−iWtdt
那麼函數 F ( W ) F(W) F(W)就是 f ( t ) f(t) f(t)的傅裡葉變換.把 F ( W ) F(W) F(W)帶入 f ( t ) f(t) f(t)得
f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F ( W ) e i W t d W f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(W)\ e^{iWt} dW f(t)=2π1∫−∞+∞F(W) eiWtdW
f ( t ) f(t) f(t)就是傅裡葉變換的逆變換.
函數.令
F ( W ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − i W t d t F(W) =\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-iWt}dt F(W)=∫−∞+∞f(t)e−iWtdt
那麼函數 F ( W ) F(W) F(W)就是 f ( t ) f(t) f(t)的傅裡葉變換.把 F ( W ) F(W) F(W)帶入 f ( t ) f(t) f(t)得
f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F ( W ) e i W t d W f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(W)\ e^{iWt} dW f(t)=2π1∫−∞+∞F(W) eiWtdW
f ( t ) f(t) f(t)就是傅裡葉變換的逆變換.