3Blue1Brown-線性代數的本質筆記

3Blue1Brown-線性代數的本質

• 1 向量究竟是什麼
• 2 線性組合、張成空間與基
• 3 矩陣與線性變換
• • 3.1 詞彙
  • 3.2 線性：變換後
  • 3.3 線性變換一個重要推論
  • 3.4 2×2矩陣
• 4 矩陣乘法與線性變換複合
• 附注1
• 5 行列式
• • 5.1 詞彙
  • 5.2 行列式概念
  • 5.3 n階行列式
  • 5.4 幾何概念
• 6 逆矩陣、列空間、零空間
• • 6.1 詞彙
  • 6.2 Ax=v
  • 6.3 矩陣相乘
  • 6.4 變換
  • 6.5 秩
  • 6.6 列空間
  • 6.7 滿秩
  • 6.8 零空間
• 附注2 非方陣
• 7 點積與對偶性
• • 7.1 詞彙
  • 7.2 點積
  • 7.3 向量
  • 7.4 嚴格的線性性質
• 8 叉積的标準介紹、叉積與線性變換
• • 8.1 詞彙
  • 8.2 概念
• 9 基變換
• • 9.1 坐标系
  • 9.2 向量新了解
  • 9.3 轉換一個矩陣
  • 9.4 A^-1^MA
• 10 特征向量與特征值
• • 10.1 詞彙
  • 10.2 特征向量
• 11 抽象向量空間
• • 11.1 詞彙
  • 11.2 向量加法和數乘規則

bilibili： 線性代數

1 向量究竟是什麼

pass

2 線性組合、張成空間與基

pass

3 矩陣與線性變換

3.1 詞彙

1. Linear transformations：線性變換

3.2 線性：變換後

• 直線仍是直線；
• 原點保持固定；

3.3 線性變換一個重要推論

  一個向量是i-hat與j-hat的特定線性組合，變換後仍為i-hat與j-hat同樣的線性組合，即你可以隻通過變換後的i-hat與j-hat，直接推論出變換後的該向量。

3.4 2×2矩陣

  一個二維線性變換僅由四個數字就可完全确定，我們通常把這些坐标包裝在2×2格子中，稱為2×2矩陣。如果你有一個給定向量以及一個描述現象變換的2×2矩陣，你想了解這個線性變換對該向量的影響，你隻需要取出向量的坐标将它們與矩陣特定列相乘，再将它們的積求和即可。

4 矩陣乘法與線性變換複合

pass

附注1

pass

5 行列式

5.1 詞彙

• Parallelepiped：平行六面體
• Generally stretches space：向外拉伸空間
• Generally squishes space：向内擠壓空間
• determinant：行列式
• orientation：定向，取向

5.2 行列式概念

  線性變換改變的比例被稱為這個變換的行列式（The determinant of a transformation）。

5.3 n階行列式

• 二階行列式可看做平行四邊形的面積，正負号表示取向
• 三階行列式可簡單看做平行六面體的體積，正負号可用右手定則判斷
• 行列式為0，矩陣必然線性相關

5.4 幾何概念

  ad表示矩形面積，bc表示矩形在對角線方向的擠壓量（拉伸量）；

6 逆矩陣、列空間、零空間

6.1 詞彙

• Inverse matrices：逆矩陣
• Column space：列空間
• Rank：秩
• Null space：零空間
• Gaussian elimination：高斯消元法
• Row echelon form：行階梯型
• Linear system of equations：線性方程組

6.2 Ax=v

  求解Ax=v，意味着尋找一個向量x，使它變換後與v重合。

6.3 矩陣相乘

  A與A的逆矩陣相乘，等于一組基向量。

6.4 變換

  隻要變換A，不會将空間壓縮到一個更低的次元時，即det(A)不等于0，就必然存在A的逆矩陣，因為你無法将一條直線“解壓縮”為一個平面。

6.5 秩

  秩表示壓縮後的空間維數。

6.6 列空間

  所有可能的輸出向量Av構成的集合叫做矩陣A的列空間。

6.7 滿秩

  秩與列數相等稱為滿秩。

6.8 零空間

  變換後落在原點的向量集合成為零空間。

附注2 非方陣

• 變換後為3×2矩陣，三維空間用2個三維坐标表示，即為三維空間的一個平面上
• 變換後為2×3矩陣，三維空間用3個二維坐标表示，即為二維空間
• 變換後為1×1矩陣，一維空間用1個一維坐标表示，即為數軸上點

7 點積與對偶性

7.1 詞彙

• Dot product：點積
• Duality：對偶性

7.2 點積

  點積就是矩陣向量的乘積。兩個向量點乘就是将其中一個向量轉換為線性變換。線性變換推論可知，變換後的該向量可以從變換後的i-hat與j-hat得到，而兩者的變換又與投影有關，是以點積與投影自然而然聯系起來了。

7.3 向量

  向量不僅僅是空間的一個箭頭，更該把它看成線性變換的載體。向量仿佛一個特定變換的概念性記号，有時，想象空間中的向量比想象整個空間移動到數軸上更加容易了解。

7.4 嚴格的線性性質

• L(v+w) = Lv+Lw：可加性
• L(cv) = cLv：成比性（一階齊次）

8 叉積的标準介紹、叉積與線性變換

8.1 詞彙

• Cross product：叉積

8.2 概念

  兩向量的叉積就是兩者形成的平行四邊形的面積，方向利用右手定則判斷。通常用來度量面積變換比例的行列式，給出了平行四邊形的面積。

  嚴格意義上的叉積是使用2個三維向量生成1個新的三維向量；

  叉積所生成的對偶向量，必然與輸入的兩個向量垂直，并且長度數值上等于輸入的兩個向量的張成的平行四邊形

9 基變換

9.1 坐标系

  發生在向量與一組數之間的任意轉化，都稱作一個坐标系；

9.2 向量新了解

  我們線上性變換前所想的向量是我們的基向量的一種特定的線性組合，而線性變換的一個重要特征(第3章的線性變換推論)就是，變化後的向量仍然是相同的線性組合，不過使用的是新的基向量；

9.3 轉換一個矩陣

  如何轉換一個矩陣，即用她的坐标來表示一個與你相同的變換：

1. 從詹妮弗的語言描述的任一向量出發；

   

2. 利用基變換轉化為我們的語言描述；

   

3. 所得結果左乘線性變換矩陣([0,1],[-1,0]為你的變換矩陣，即旋轉逆時針90°)；

   

4. 再将結果左乘基變換的逆矩陣；

   

5. 這三個符合矩陣就是用她的語言來描述一個與你相同的線性變換，它接收詹妮弗語言描述的向量，并輸出她的語言描述的變換後的向量；

   

9.4 A-1MA

  表達式 A-1MA 暗示一種數學上的轉移作用，中間M矩陣代表你所見的變換，兩側的矩陣代表轉移作用，也就是視角的轉換，矩陣乘積仍然代表同一個變換，隻不過是從其他的人角度來看。

10 特征向量與特征值

10.1 詞彙

• Eigenvectors：特征向量
• Eigenvalues：特征值
• Diagonal matrix：對角矩陣
• Eigenbasis：特征值

10.2 特征向量

  特征向量指變換後仍留在其張成空間内的向量；每個特征向量都有一個所屬的特征值，被稱為特征值，即衡量特征向量在變換中拉伸或壓縮比例的因子。

11 抽象向量空間

11.1 詞彙

• linear operators：線性算子
• Axioms：公理

11.2 向量加法和數乘規則