時間序列預測之一：指數平滑法（一）理論

目錄

1. 基礎知識

2. 簡單滑動平均（rolling mean）

3. 指數平均(EXPMA)

3.1 一階指數平滑 

3.2 二次指數平滑 

3.3 三次指數平滑預測 

4. 二次指數平滑法執行個體分析

       指數平滑法，用于中短期經濟發展趨勢預測。

全期平均法：簡單的全期平均法是對時間數列的過去資料一個不漏地全部加以同等利用；

移動平均法：移動平均法則不考慮較遠期的資料，并在權重移動平均法中給予近期資料更大的權重；

指數平滑法：指數平滑法則相容了全期平均和移動平均所長，不舍棄過去的資料，但是僅給予逐漸減弱的影響程度，即随着資料的遠離，賦予逐漸收斂為零的權數。

        也就是說，指數平滑法是在移動平均法基礎上發展起來的一種時間序列分析預測法，它是通過計算指數平滑值，配合一定的時間序列預測模型對現象的未來進行預測，其原理是任一期的指數平滑值都是本期實際觀察值與前一期指數平滑值的權重平均。利用修勻技術，削弱短期随機波動對序列的影響，使序列平滑化，進而顯示出長期趨勢變化的規律。

用序列過去值的權重均值來預測将來的值，序列中近期的資料被賦以較大的權重，遠期的資料被賦以較小的權重。理由是一般情況下，某一變量值對其後繼行為的影響作用是逐漸衰減的。

1. 基礎知識

       1). 前提假設：時間序列分析一般假設我們獲得的資料在時域上具有一定的互相依賴關系，例如股票價格在t時刻很高，那麼在t+1時刻價格也會比較高（跌停才10%）；如果股票價格在一段時間内獲得穩定的上升，那麼在接下來的一段時間内延續上升趨勢的機率也會比較大。 

       2). 目标：（1）發現這種隐含的依賴關系，并增加我們對此類時間序列的了解；（2）對未觀測到的或者尚未發生的時間序列進行預測。 

     我們認為時間序列由兩部分組成：有規律的時間序列（即有依賴關系）+噪聲（無規律，無依賴）。是以，接下來要做的就是過濾噪聲：

最簡單的過濾噪聲的方法是：取平均。

2. 簡單滑動平均（rolling mean）

       1). 特點：當視窗取得越長，噪聲被去除的就越多，我們得到的信号就越平穩；但同時，信号的有用部分丢失原有特性的可能性就越大，而我們希望發現的規律丢失的可能性就越大。 

       2). 缺點：（1）我們要等到至少獲得T個信号才能進行平均，那麼得到的新的信号要比原始信号短；（2）在得到S_t的時候，我們隻有距離t最近的T個原始信号。但在原始信号中，可能信号之間的互相依賴關系會跨越非常長的時間長度，比如X_1可能會對X_100會産生影響，這樣滑動平均就會削弱甚至隐藏這種依賴關系。

3. 指數平均(EXPMA)

        接下來介紹一種稍微複雜但能克服以上缺點并且在現實中應用也更加廣泛的方法：指數平均 （exponential smoothing，也叫exponential weighted moving average ），這種平均方法的一個重要特征就是，S_t與之前産生的所有信号有關，并且距離越近的信号所占權重越大。 

3.1 一階指數平滑 

當時間數列無明顯的趨勢變化，可用一次指數平滑預測。

        一階指數平滑實際就是對曆史資料的權重平均，它可以用于任何一種沒有明顯函數規律但确實存在某種前後關聯的時間序列的短期預測。其預測公式為：（任一期的指數平滑值都是本期實際觀察值與前一期指數平滑值的權重平均）

       或    

• a：平滑系數
• yt+1'：t+1期的預測值，即本期（t期）的平滑值St ；
• yt：t期的實際值；
• yt'：t期的預測值，即上期的平滑值St-1 。本期的平滑值 = 下期的預測值

　   該公式又可以寫作： 

       可見：下期預測值是本期預測值與以a為折扣的本期實際值與預測值誤差之和。

       1. 最突出的優點：方法非常簡單，甚至隻要樣本末期的平滑值，就可以得到預測結果。

       2. 一次指數平滑的特點是：能夠跟蹤資料變化。這一特點所有指數都具有。預測過程中添加最新的樣本資料後，新資料應取代老資料的地位，老資料會逐漸居于次要的地位，直至被淘汰。這樣，預測值總是反映最新的資料結構。

       3. 一次指數平滑有局限性：第一，預測值不能反映趨勢變動、季節波動等有規律的變動；第二，這種方法多适用于短期預測，而不适合作中長期的預測；第三，由于預測值是曆史資料的均值，是以與實際序列的變化相比有滞後現象。

       4. 平滑系數：指數平滑預測是否理想，很大程度上取決于平滑系數。指數平滑法對實際序列具有平滑作用，平滑系數a 越小，平滑作用越強，但對實際資料的變動反應較遲緩。

EViews提供兩種确定指數平滑系數的方法：自動給定和人工确定。選擇自動給定，系統将按照預測誤差平方和最小原則自動确定系數。如果系數接近1，說明該序列近似純随機序列，這時最新的觀測值就是最理想的預測值。出于預測的考慮，有時系統給定的系數不是很理想，使用者需要自己指定平滑系數值。一般來說：

（1）如果序列變化比較平緩，平滑系數值應該比較小，比如小于0.1；

（2）如果序列變化比較劇烈，平滑系數值可以取得大一些，如0.3～0.5；

（3）若平滑系數值大于0.5才能跟上序列的變化，表明序列有很強的趨勢，不能采用一次指數平滑進行預測。

      5. 缺點：（1）隻考慮曆史平均，不考慮變化趨勢；（2）在實際序列的線性變動部分，指數平滑值序列出現一定的滞後偏差，偏差程度随着平滑系數a 的增大而減少，但當時間序列的變動出現直線趨勢時，用一次指數平滑法來進行預測仍将存在明顯的滞後偏差。是以，也需要進行修正。

修正的方法也是在一次指數平滑的基礎上再進行二次指數平滑，利用滞後偏差的規律找出曲線的發展方向和發展趨勢，然後建立直線趨勢預測模型，故稱為二次指數平滑法。

3.2 二次指數平滑 

       二次指數平滑是對一次指數平滑的再平滑，同時考慮曆史平均和變化趨勢。它适用于具線性趨勢的時間數列。

       我們可以看到，雖然一次指數平均在産生新的數列的時候考慮了所有的曆史資料，但是僅僅考慮其靜态值，即沒有考慮時間序列目前的變化趨勢。如果目前的股票處于上升趨勢，那麼當我們對明天的股票進行預測的時候，好的預測值不僅僅是對曆史資料進行”平均“，而且要考慮到目前資料變化的上升趨勢。同時考慮曆史平均和變化趨勢，這便是二階指數平均，公式：

      式中，

      也就是：

• 

  ：第t+T期預測值；
• T：由t期向後推移期數。

     顯然，二次指數平滑是一直線方程，其截距為：(2yt’-yt)，斜率為：(yt’-yt) a/(1-a)，自變量為預測天數。

     在一次指數平滑的基礎上得二次指數平滑 的計算公式為：              

• 

  ：第t周期的二次指數平滑值；

• 

  ：第t周期的一次指數平滑值；

• 

  ：第t-1周期的二次指數平滑值；
• a ：權重系數（也稱為平滑系數）。

       二次指數平滑法是對一次指數平滑值作再一次指數平滑的方法。它不能單獨地進行預測，必須與一次指數平滑法配合，建立預測的數學模型，然後運用數學模型确定預測值。

3.3 三次指數平滑預測 

       1. 與前兩種相比，我們多考慮一個因素：季節性效應（ Seasonality）。這種平均模型考慮的季節性效應在股票或者期貨價格中都會比較常見，比如在過年前A股市場通常會交易比較頻繁，在小麥成熟的時候小麥期貨價格也會有比較明顯的波動。但是，模型本身的複雜度也增加了其使用難度，我們需要一定的經驗才能比較合理地設定其中複雜的參數。 

      2. 三次指數平滑預測是二次平滑基礎上的再平滑。 其預測公式是：

         yt+m=(3yt’-3yt+yt)+[(6-5a)yt’-(10-8a)yt+(4-3a)yt]*am/2(1-a)2+ (yt’-2yt+yt’)*a2m2/2(1-a)2

        式中，yt=ayt-1+(1-a)yt-1

它們的基本思想都是：預測值是以前觀測值的權重和，且對不同的資料給予不同的權，新資料給較大的權，舊資料給較小的權。

4. 二次指數平滑法執行個體分析

　　表中第③欄是我國1978-2002年全社會客運量的資料，據期繪制散點圖，見下圖，可以看出，各年的客運量資料基本呈線性趨勢，但在幾個不同的時期直線有不同的斜率，是以考慮用變參數線性趨勢模型進行預測。具體步驟如下：

　　                                           表4-1 我國1978-2002年全社會客運量及預測值                                                 機關：萬人

年份	時間t	全社會客運量y	各期的一次指數平滑值	各期的二次指數平滑值	at	bt
①	②	③	④	⑤	⑥	⑦	⑧
253993.0	253993.0
1978	1	253993	253993.0	253993.0	253993.0	0.0
1979	2	289665	275396.2	266834.9	283957.5	12841.9	253993.0
1980	3	341785	315229.5	295871.7	334587.3	29036.7	296799.4
1981	4	384763	356949.6	332518.4	381380.8	36646.8	363624.0
1982	5	428964	400158.2	373102.3	427214.2	40583.9	418027.5
1983	6	470614	442431.7	414699.9	470163.4	41597.6	467798.1
1984	7	530217	495102.9	462941.7	527264.1	48241.8	511761.1
1985	8	620206	570164.8	527275.5	613054.0	64333.8	575505.8
1986	9	688212	640993.1	595506.1	686480.1	68230.5	677387.8
1987	10	746422	704250.4	660752.7	747748.2	65246.6	754710.7
1988	11	809592	767455.4	724774.3	810136.4	64021.6	812994.8
1989	12	791376	781807.8	758994.4	804621.1	34220.1	874158.1
1990	13	772682	776332.3	769397.1	783267.5	10402.8	838841.2
1991	14	806048	794161.7	784255.9	804067.6	14858.8	793670.2
1992	15	860855	834177.7	814209.0	854146.4	29953.1	818926.3
1993	16	996630	931651.5	884674.5	978628.5	70465.5	884099.5
1994	17	1092883	1028390.4	970904.0	1085876.8	86229.6	1049094.0
1995	18	1172596	1114913.8	1057309.9	1172517.6	86405.8	1172106.3
1996	19	1245356	1193179.1	1138831.4	1247526.8	81521.5	1258923.5
1997	20	1326094	1272928.0	1219289.4	1326566.7	80458.0	1329048.3
1998	21	1378717	1336401.4	1289556.6	1383246.2	70267.2	1407024.7
1999	22	1394413	1371208.4	1338547.7	1403869.1	48991.1	1453513.4
2000	23	1478573	1435627.1	1396795.4	1474458.9	58247.7	1452860.1
2001	24	1534122	1494724.1	1455552.6	1533895.5	58757.2	1532706.6
2002	25	1608150	1562779.6	1519888.8	1605670.4	64336.2	1592652.8
2003	26	1670006.7
2004	27	1734342.9

　　（1）第一步，計算一次指數平滑值。取

，根據一次指數平滑公式

，可計算各期的一次指數平滑預測值：

　　1978年：

　　1979年：

　　同理可得各年的一次指數平滑預測值，見表1中第④欄。

　　（2）第二步，根據（1）式和第一步計算的 ，計算各期的二次指數平滑值，見表1中第⑤欄。如：

　　

　　

　　其餘各期以此類推。

　　（3）第三步，計算各期參數變量值α、b。根據（3）式，可計算各期的α、b，分别見表第⑥、第⑦欄。如

　　

　　（4）第四步，根據（4）式和（2）式分别求各期的趨勢預測值，見表中最後一欄。如：

　　        2000年預測值

；

　　進行外推預測,則

　　       2003年預測值

；

　　      2004年預測值

。

　　把各年的預測值繪成曲線與原時間序列的散點圖比較（見上圖），可以看出，二次指數平滑法由于考慮了時間序列在不同時期直線參數的變化，其預測值與原時間序列的拟合程度非常好。上圖中也給出了用最小二乘法拟合的趨勢直線，相比之下，用二次指數平滑法拟合的趨勢線更好地展現了原時間序列在不同時間段的變化趨勢。

參考：

       https://blog.csdn.net/weixin_40396948/article/details/79108469

       https://www.cnblogs.com/devilmaycry812839668/p/6935167.html

       https://blog.csdn.net/u013527419/article/details/52822622