線性代數學習之線性相關，線性無關與生成空間

繼續接着上一次https://www.cnblogs.com/webor2006/p/14306045.html的線性代數的學習繼續向前，這次則開始要接觸線性代數領域更加核心更加關鍵的内容：什麼是線性相關？什麼是線程無關？什麼是生成空間...下面開始。

線性組合：

先來回憶一下https://www.cnblogs.com/webor2006/p/14245895.html向量的兩個最基本的運算：向量加法和标量乘法，用符号表示如下：

而向量的這兩個最基本的運算就建構了線性代數中最重要的一個概念：線性組合。那下面對于線性組合這個概念更具體一點，其實就是指：

對于若幹個n維向量：

此時對該向量的每一個元素進行一個标量的乘法，比如：

而此時這個式子就叫做上面向量的一個線性組合。上面這個式子相加的結果還是一個向量，了解這個概念其實可以跟之前學習的線性方程組中定義的一個個的線程方程給聯系起來，回憶一下線性方程的定義就是給x1，x2，x3，...，xp，它們的次數都為1，然後它們前面乘以一些系數再相加起來，是不是就跟咱們目前說的線程“組合”很像，隻是把之前的未知數改成了向量而已，隻是由于向量的加法結果并非是一個常數，而依然是向量，是以對于線性組合這個概念這樣了解就稍加順暢一些。

而其實在之前線性代數的學習中已經見過很多次線性組合了：

1、比如三維空間中，有三個标準機關向量【參考https://www.cnblogs.com/webor2006/p/14257300.html】：

對應三維坐标軸如下：

那麼對于三維空間中的任何一個向量，是不是都可以寫成：

進一步抽象：

是以加上線性組合的概念來闡述就是對于三維空間中的任何一個向量，都是其三個标準機關向量的一個線性組合。

2、再比如在上次https://www.cnblogs.com/webor2006/p/14271706.html，對于矩陣的乘法是可以以列視角來看待的，回憶一下：

 也就是對于列視角的矩陣*向量的結果就是該矩陣的每一個列向量的線性組合，而這個線性組合所對應的k1，k2等系數也就是右乘的向量中每一個元素的值，是以：矩陣和向量的乘法，可以看做是矩陣的列向量的一個線性組合。比較有意思的是對于這麼一個看法跟“之前https://www.cnblogs.com/webor2006/p/14271706.html咱們學習把坐标系中的任意一個向量也可以看成是一個線性組合”兩者之間是可以聯系起來的，回憶一下：

也就是把一個矩陣看成是一個空間，其實也就是把矩陣*向量看成了是矩陣的列向量的一個線性組合，如下：

很明顯它跟咱們上面舉的第一個線性組合的例子其實是一樣的，就好比是這個情況：

對于這些不同的視角都是為了加深對于概念的了解~~

3、最後要舉的一個之前用的線性組合的例子是高斯約旦消元法的一個增廣矩陣，如下：

那它跟咱們目前學習的線性組合的概念是如何挂勾的呢？下面用抽象的視角來審視一下整個消元的過程：

是以就是：

緊接着将它下面的元素都消為0，則需要讓第二行(r2向量)減去第一行(-r1向量)，然後再讓第三行(r3向量)+ 3 * 第一行(-r1向量)，結果如下：

其中對于對于标紅的這個矩陣中的三行是不是就是原來r1、r2、r3這三個向量的線性組合？好繼續消元的過程，此時得處理第二行了：

首先歸一，則需要讓第二行乘以-1/2，如下：

然後将它下面的元素歸0，很明顯就是第三行+第二行，是以最終為：

其中對于标紅的這個式子歸一處理之後，就可以發現：

發現木有，其實它就等于原來矩陣行向量的一個線性組合，當然接下來還得進行主元上面的歸0操作，不過這裡略過了，從這個高斯消元的過程中就可以發現對于高斯約旦消元法的結果的每一行，其實是原來矩陣各行的一個線性組合。怎麼感覺這個線性組合的概念有點生硬呀，學它很有用麼？是的！！！之是以都往這個概念上靠就是為了之後的學習需要，因為這個概念是線性代數的非常核心的概念，在之後的學習中會發現哪裡都離不開它，是以先學會用這種視角了解下線性組合是個什麼東東既可。

線性相關和線性無關：

線性相關：

接下來繼續來學習新概念，如标題所示，這倆是離不開上面所介紹的線性組合的，是以數學的學習就是這麼嚴謹，來不得半點馬虎，新的概念完全是由之前所學的概念所推導出來的，回憶一下在上面介紹線性組合舉的最後一個例子：

而對于舉的這個增廣矩陣其實是一個齊次的線性方程組的增廣矩陣，關于啥是齊次線性方程組可以回憶https://www.cnblogs.com/webor2006/p/14280299.html：

是以咱們隻需要對增廣矩陣的系數矩陣進行消元既可，對于結果由于都是0不管怎麼進行初等變換依然都是0，而對于系數矩陣而言經過高斯消元之後，其實發現它是一個零向量，如下：

換言之：

按順序整理一下就是：

此時三個系數可以定義為：

而這裡重點要關注的是經過等号左邊的運算之後得到了右側的一個“零向量”，對于零向量它是很特殊的，基于這種特殊，其實對于k1，k2，k3三個其實還有另一個非常平凡能想到的解就是：

好！！！新概念就要基于此進行推出了，對于若幹個n維向量：

存在一組k不全為0，使得：

則稱：

它們是線性相關。說實話這個概念還是有些抽象的，怎麼了解呢？對于咱們這個例子，由于有一組k不全為0也使得最終為零向量：

此時将r3向量提到左邊，其它提到右邊就為：

是不是r3向量就可以表示成r1向量和r2向量的一個線性組合？是以對于這個線性相關就可以了解對于這三個向量并不是那麼的獨立，其中把r3向量拿出來，它可以用r1和r2的線性組合給表示出來，這就是所謂的線性相關。

基于此，其實就可以有這麼一個跟線性相關的命題了：

下面來證明一下該命題：

先來證明正方向：

就有：

其中設ki不為0，就會有如下式子了：

由于ki不為0，是以等式兩邊都可以除以它，式子就變換成了：

很明顯對于vi向量而言它是其它向量的一個線性組合，這就證明了這個正向的命題，但是這裡有個注意點：如果線性相關隻能說明是其中“至少”有一個向量可以寫成其他向量的線性組合，但不是“所有”向量都可以寫成其他向量的線性組合，因為如果向量的系數k為0的話對應的這個向量就不能寫成其它向量的線性組合了，注意這個嚴謹性。

再來證明反方向 ：

既然“其中一個向量可以寫成其他向量的線性組合”，那就可以有如下等式：

這樣将vi向量挪一下位置，就可以表示為：

其中是不是就可以看到左側就是v1....vn向量的線性組合中至少存在vi向量前的系數為-1，不為0？

這不就符合線性相關的概念麼？因為再看一下線性相關的定義：

是以反方向的命題也被證明了。

線性無關【重要】：

了解了線性相關之後，對立的就是線性無關了，先直接看它的定義，很容易了解：

一個最簡單的例子，就是在之前學習的空間坐标系中的機關向量，回憶一下：

也就是對于空間中的任何一個坐标都可以表示機關向量的線性組合，而如果想這個線性組合為0的話，是不是隻有可能是：

此時就可以說e1、e2、e3向量就是線性無關的，其中從空間圖就可以看到，本身這三個向量就是沒有關系的。

而對于線性無關的向量，很顯然任何一個向量都是非常重要的，它不能被其它的向量所取代，是以在之後的學習中會更加的關注“線性無關”，但是！！！也并不是說線性相關就不重要的，它們倆其實是相輔相成的，有時為了證明線性無關也是需要借助于線性相關的性質的，比如咱們來證明：

也就是有n個标準機關向量，要想證明此命題，可以用反證法，此時就得借助于線性相關啦，是以就會有：

此時就可以有如下等式：

既然有一組不全為0的k，是以可以假設ki不等于0，于是就可以将它化為：

然後再同時除以ki，如下：

而對于等号右側的線性組織是可以計算出來的，其實就是這個結果向量：

其中第i個元素是為0【記住它，因為之後會拿它做一個對比】，因為線性組合中是沒有ei這項的，提到等号左邊了呀，而ei是第i個元素為1，其它的元素都為0的标準機關向量，很明顯沖突了呀，因為等号右側的向量的第i個元素為0，是以e1...en向量線性相關是不可能的，是以就證明了它們是線性無關的。

線性相關的重要性質：

線性相關：

接下來看一下線性相關的重要性質，如下：

假設有100個三維向量(m=100,n=3,m>n)、4個三維向量(m=4,n=3，m>n)，此時就可以百分百肯定它們是線性相關的，但是！！！如果有3個三維向量(m=3,n=3，m=n)就不知道它們到底是線性相關或線性無關了，此時就還需要進一步自己來判斷了。

這裡先來探究一下為啥當m>n時就“一定”是線性相關的，先來看這兩個向量：

要判斷它們倆是否是線性相關，就得從線性相關的定義出來，很顯然得看是否存在k1，k2不全為0，滿足下面這個條件：

而它其實又可以變為以矩陣列的視角和向量的乘積，如下：

此時就又回了齊次線性方程的求解問題了，看它是否隻有唯一的零解，如果是那麼這倆向量肯定是線性無關的，否則為線性相關。而關于線性系統的求解在之前已經花了大量時間系統的學習了，其實也很簡單，将其系數矩陣化為行最簡形式然後再看它非0行的個數和未知數的個數之間的關系，首先用第一行先乘以-1/3，就變為：

然後将第一行主元下面的行化為0，直接用第二行減去第一行，變為：

好，目前已經化為行最簡形式了，目前這個方程有2個未知數，其中存在有一個自由列，啥叫自由列還有印象麼，回憶一下https://www.cnblogs.com/webor2006/p/14280299.html：

也就是非0行隻有1個，而未知數有2個，很顯然根據之前https://www.cnblogs.com/webor2006/p/14280299.html所學：

很顯然不隻有一個解(不隻有零解，對于齊性線性方程一定有一個零解，因為等式右邊是為0嘛)，此時就可以推斷出k1、k2不可能全為0，是以就可以得出這兩向量：

是線性相關的，是以再來對咱們對于上面兩個向量判斷是否線性相關的解題思路進行抽象化一下，進而來進行如下命題的證明：

就得看是否存在k1，k2，...，km【因為有m個向量，是以就得有m個系數】不全為0，而且要滿足：

而展開來看的話就是：

再變換成線性系統的求解：

看是否有唯一零解，如果是的則說明這些向量之間是無關的，否則是線性相關的。而由于這是一個齊次線性方程，是以可以直接看系數矩陣既可【因為你不管怎麼進行消失消元其結果都為0】，是以對于系數矩陣目前是n行m列，而根據咱們對于線性相關的命題已知的條件：

拿這個系數矩陣來看，其中m是未知數的系數，而n是矩陣的行數，也就是說矩陣的列數大于行數，當它化為行最簡形式的時候，是不是最多也隻能是n行為非0行？是以系統矩陣化為行最簡形式後，肯定非零行小于列數，是以該齊次線性方程肯定是有無數解，而不僅僅有唯一的零解，這樣對于線性相關的這個命題也就得證了。

線性無關：

對于上面的命題，相反怎麼來論證呢？也就是：

同樣也是回歸到齊次線性方程的求解上來：

而根據之前對于線性系統的求解的總結來看：

當将系統矩陣化為最簡形式之後，非零行一定是要等于未知數的個數的才有唯一解。其實答案在之前所推導的一系列命題中：

是以啥時候才是線性無關的答案就跟之前所學的諸多個命題聯系在了一起了，再一次展現了數學的嚴謹，之前所學都是為後面打基礎的，看似沒用的理論往往就能解決我們的困惑，是以可以從這命題的任何一個命題取出來都是線性無關的答案，當矩陣A可逆(A是非奇異矩陣)、rref(A) = I、A可以表示成一系列初等矩陣的乘識、Ax=b隻有唯一解滿足一條都可以認為這些向量是線性無關的，對于這些命題中最簡單是矩陣A可逆(A是非奇異矩陣)，是以在有些教材中對于m個向量什麼時候線性無關定義時就這樣定義：

其中m為啥要等于n呢，因為隻有方陣才可逆呀，有時候可會這樣陳述這個命題：

而由于A可逆是在之前的一系列的等價命題中，是以對于之前的系列等價命題又可以加一個命題啦，如下：

這樣就把線性無關跟之前的等價命題聯系到了一些，相反的否命題也同樣滿足各個等價命題的否命題，啥意思？也就是當方陣A的列向量線性相關，可以推出矩陣A不可逆、線性系統Ax=0不隻有唯一解、A的行最簡形式不是機關矩陣等等，這點也需要明白。

直覺了解線性相關和線性無關：

對于線性相關這個概念說實話還是非常抽象的，先來回憶一下定義：

而當時用了一個更直覺了解線性相關的方式是指：

而從另外一個角度來了解：從這些向量所表達的資訊來看，線性相關其實就意味着這一組向量中它們的資訊是備援的，這是因為“其中一個向量可以寫成其他向量的線性組合”，也不是這個向量很明顯沒有表達新的資訊，也就是存在跟其它向量是重合的；反之線性無關則意味着資訊的完全不備援，因為每一個向量都是獨立的，其中一個向量是不能表達成其他向量的線性組織的形式的。說了這段話是不是還是比較抽象，下面則以二維平面的角度來直覺感受一下線性相關，按着線性相關的定義:

也就是隻要在二維平面中随便來2個以上的向量，肯定它們都是線性相關的呗，下面來瞅瞅看是不是這樣，先随便取2個向量：

注意這裡的“随便”當然不是拿有共線或其中有某條向量是0向量來舉例的，關于這些特殊的情況之後再說，目前而言“随便”就是指兩個不共面的向量。好，接下來再來取一個向量：

此時按照定義它們仨肯定是線性相關的對不？那為什麼？接下來得做輔助線了，先來将向量u和向量v所在的直線各畫一條，如下：

那此地對于w這個向量一定就能夠做出跟向量v和向量u兩條直線的平行線，如下：

此時相交的地方是不是就可以做兩個新的向量，如藍色所示：

其中這倆藍色的向量(用k1，k2來表示)其實就是向量u和向量v和某個标量的結果，因為是在同一個方向嘛，是以是跟向量u和向量v相關的，而對于w向量很顯然就是k1、k2兩個藍色向量相加的結果，記成：

此時很明顯對于向量w跟向量u和v是線性相關的，對于目前舉的這個例子貌似有點牽強呀，剛好是在兩夾角的中間，那下面再來取一個位置看看：

此時同樣也可以做向量u，v的直線所在的平行線呀，如下：

而此時又可以繪制2根藍色的向量：

隻是這兩個藍色(k1、k2)的向量是向量u，v的反方向，但是依然可以是它們的基數乘積呀，是以對于向量w依然可以表示是k1向量和k2向量的加法形式了，好繼續再來取一個向量：

同樣的還是可以表示u、v向量跟基數相乘的兩個向量相加的結果，如下：

好，接下來再來弄一個之前提到特殊的情況，就是向量u和向量v共線：

然後此時在上面任取一個向量w：

此時w貌似沒法表示向量u和向量v線性組合呀，但是！！！向量u是可以表示w和v的線性組合，也就是：

因為k1可以取0呀，而由于向量u、v是共線的，對于向量u一定是能用向量v乘以一個常數的形式，而k1和k2又不全為0當然可以說u是可以表示w和v的線性組合喽，同理對于向量v也一樣：

是以結論就是其實它們還是線性相關的。

推論1：

接下來看一個推論：

很明顯根據線性定義就可以直接推出它：因為n+1>n。但是呢還可以以另一個方式來證明上面的推論：

此時在這個等式上同時乘以0*vn+1向量，就為：

而對于它前面的0這個系數其實就是：

而由于這n+1個k不全為0，也能證明這n個向量是線性相關的。

推論2：

對于二維平台中的向量有可能是零向量的情況還木有說，對于它先看一個相關的推論：

下面來證明一下，先假設i向量是零向量：

其中對于第i個k可以随便出一個非零的值，是以對于k的情況就為：

很顯然也滿足：

其中ki是不為0的，因為能找到一組不全為0的k使得等式滿足，那不就是線性相關的定義麼？

上面隻是說了線性相關的情況，對于線性無關呢？其實在二維平面中，隻要是兩個向量不共線，就可以說這兩個向量是線性無關的，在三維空間中，三個向量不共面，則這三個向量線性無關。最後對于線性相關和無關的結語為：

生成空間：

由線性相關與無關的概念，就可以引出一個非常重要的概念了----生成空間，先來回憶一下在上面論證線性相關以二維平面的一個例子：

如圖也就是表示對于一個二維空間中的任何向量，都可以表示為u和v的線性組合，此時我們就可以說u和v可以生成整個二維空間。對于n維空間而言也一樣，若空間中的所有向量，都可以被表示成v1、v2、v3、...、vp向量的線性組合，則稱：這些向量可以生成這個空間。還是回到上圖的二維空間中來看，我們說u和v可以生成整個二維空間，其實u，v，w也可以生成整個二維空間，這是因為這空間中的任意一個向量都可以寫成這三個向量的線性組合，這也很好了解，本身這空間中的任意一個向量都可以用u，v的線性組合來表示，那這個線性組合再加上w之後，w前面的系數取0就可以了呀，是以這二維空間中的任意一個向量也都可以表示成u，v，w這三個向量的線性組合，那既然這樣是不是可以再增加一個向量也同樣能生成二維空間？是的，那麼這裡就有一個問題需要探讨了，看下面。

最少需要幾個向量生成二維空間？

1、肯定不是一個：因為一個向量隻能生成這條直線上的其他向量；

2、肯定不是三個：因為兩個向量不共線，其他向量可以表示成這兩個向量的線性組合。 所有有一個向量肯定是備援的，因為咱們這裡讨論的是“最少”。

基于上面兩點來看，對于二維空間而言最少需要2個向量，那擴充到n維空間來說，也就有這樣一個結論：

對于一個n維空間，至少【注意這個詞】需要n個向量才能夠生成。

對于這個結論可以采用反證法來證明：

證明：對于一個n維空間，至少需要n個向量才能夠生成

假設m個向量可以生成n維空間，且m<n。

根據定義，則n維空間中的任何一個向量，都可以表示成這m個向量的線性組合。是以此時就可以有如下等式：

其中等号右邊的向量用u來表示，而它又可以變形為：

上面這是一個非齊次的線性方程組，其中系數矩陣是n行m列的，而目前已知的是n>m，也就是行數大于列數，那麼當A化為行最簡形式後一定是有零行存在，下面用增廣矩陣來表示一下：

當化為行最簡形式之後大概是長這樣：

而由于u向量是在空間中任意取的，很顯然對于系數矩陣為0行對應的結果un的元素是不能保證為0的，那不為0不就是無解了麼？是以此假設不成立，是以命題也就得證了。

在上面的結論中标紅處需要特别注意，“至少”，那“對于n個向量一定可以生成n維空間”很明顯是不成立的，比如二維平面上兩個向量共線：

那下面再來探讨：n個向量何時可以生成整個空間呢？其實就是看下面這個增廣矩陣看是否一定有解：

也就是将它化為行最簡形式是下面這樣：

非0行有n行，n個未知數，很顯然隻可能是有唯一解：

另對這種情況其實對應之前方陣的一系列命題的這種情況：

是以此時又可以加入一個等價命題了：

既然是等價，是以對于這些條件隻要滿足都可以說該方陣A的列向量可以生成n維空間：

空間的基：

經過上面生成空間的學習目前我們已經清楚了：“若m個向量生成n維空間，m最小為n(m>=n)”，另外對于線性相關我們也知道了：

而在上面也已經提到了，往往實際對于線性“無關”這個話題更加感興趣，因為線性無關的向量都是彼此獨立的，都是有用的資訊，是以此時以線性無關的角度來看：

"若m個n維向量線性無關，m最大為n(m <= n)"。

對于上面的結論一定要注意反着來說就不成立了，比如：對于n個向量是否一定就能生成n維空間呢？不一定，但是！！要想一組向量要想能生成n維空間，那麼這組向量至少需要n個；同理n個n維向量是否一定線性無關呢？也不一定，但是！！！要想讓這組n維向量線性無關，這組向量最多隻能有n個，如果是n+1個向量就一定是線性相關。

好，對于上面有兩處标紅的，接下來就可以得出另一個命題了：

“若一組向量既可以生成整個n維空間，并且線性無關，這組向量一定有n個【因為等于就是上面兩個命題的交集，隻有可能m=n】，則稱這組向量為這個n維空間的一組基【基礎的意思】。”更加形象的來看空間的基的定義如下：

對于空間的基這個概念還是有些抽象，下面還是回到坐标系中來進一步了解它，因為很重要！！

這裡還是用之前說明線性相關的這兩個向量來舉例：

是不是可以看出在二維平面中隻要是不共線的兩條向量就是整個二維空間的一組基，因為u,v的線性組合可以表示任何二維空間的一組向量，是以u，v可以生成整個二維空間，另外這倆向量由于不共線是以是線性無關的，基于此，是不是發現“一個空間中是有無數組基”？比如再取兩個不共線的向量：

而我們最常用的一組基其實是長這樣：

而通常咱們會讓這倆向量進行标準化處理，也就是讓兩個向量的模等于1，其實就是标準化機關向量，如下：

那麼問題來了，既然這樣兩個向量也是空間的基：

既然e1，e2是二維空間的基；u，v也是二維空間的基，那麼他們應該具有相同的性質？是的，下面來看一下這個共性：

在二維空間中，任何一個向量(或者是點)都可以表示成e1，e2的線性組合：

而在二維空間中，任何一個向量(或者是點)都可以表示成u和v的線性組合！且表示方法唯一【這個唯一性對于線性代數理論是非常重要的】。

基于此，咱們可以拓展到n維空間再叙述一下就是：

“在n維空間，如果給定了一組基，任何一個向量(或者是點)都可以表示成這組基的線性組合！且表示方法唯一。”

下面則來論證一下這個唯一性：

在n維空間，任何一個向量(或者是點)都可以表示成e1、e2、...、en的線性組合，且表示方法唯一。

證明：

對n維空間中的任何一個向量u，看是否一定存在一組k，使得：

展開來看就是：

對于它又可以寫成矩陣x向量的線性系統了，如下：

而咱們要論證的“表示方法唯一”，其實對于k1...kn這個系數就是向量u在e1...en這組基下面的表示 ，而要想讓表示方式唯一，很明顯就是看k1...kn的解是否是唯一的，回到上面的這個線性系統中就是看未知數的角是否是唯一，很顯然對于目前這個線性系統化為行最簡形式的非零行是n行，而未知數的個數也是n個，很顯然一定是有解，且唯一！！是以此結論就得證。

好，有了這個大前提之後，接下來再來論證我們想要的結論：“在n維空間，如果給定了一組基，任何一個向量(或者是點)都可以表示成這組基的線性組合！且表示方法唯一。”

證明：

對n維空間中的任何一個向量u，看是否一定存在一組k，使得：

依然将其化為線性系統為：

由于這組v是n維空間的基，根據空間基的定義就可以得知這組v可以生成整個空間，且線性無關對吧？那怎麼就知道該線性系統解唯一呢？此時又得借助于之前的那一系列方陣的等價命題了：

既然能知道Ax=b隻有唯一解，是不是也能說明此線性系統有解且唯一的，是以此結論就得證。

知道了空間的基之後，再回過頭看之前咱們學習的矩陣表示空間這個話題，如下：

其中u、v是空間中的一組基，是以上面式子就可以了解在這樣一組基下相應的向量就表示成了(2，2)。

而它對應的平面坐标的樣子如下：

也就是在坐标系下如果在e1,e2這組基下的表示就是(12，8)了，是以有如下等式：

這樣就利用咱們所學的空間基的概念進一步鞏固了之前所學的矩陣表示空間的概念了。

空間的基的更多性質：

先來回憶一下空間基的定義：

就有如下兩個性質：

1、n維空間中，任意n個線性無關的的向量，一定是這個n維空間的基。

2、n維空間中，如果n個向量可以生成整個空間，則這n個向量，是這個n維空間的基。

其實對于倆特性就來自于方陣的等價命題中：

下面以三維空間為例再來了解上面的性質，比如：

很顯然這兩個三維向量是線性無關的，但是不能生成整個空間，因為m<n，2個向量隻能形成一個面，而這2個向量的任何一個線性組織隻能是在這個平面上，它無法生成不在這個平面上的向量，相應的，如果是：

很顯然它們是線性無關且可以生成整個空間，如果再多一個三維向量呢？

很顯然它們是可以生成整個空間的，但是！！！它們不再是線性無關，而變成了線性相關的了。

下面用文字再整理一下性質：

另外對于空間的基還有如下一個性質：

3、如果一組向量：

它們可以生成n維空間，如果其中的一個向量，是其他向量的線性組合，如果删除這個向量，剩下的向量仍然可以生成整個n維空間。 下面論證一下，假設vi可以是其他向量的線性組合：

而由于這p個向量能夠生成n維空間，那就意味着在這n維空間中任意一個向量u都可以用這p個向量的線性組合來表示：

此時将vi代入，發現向量u就是除了vi之外p-1個向量的線性組合，是以此性質就得證了。

基于這個特性，又可以産生下面一個關于空間基的特性了：

4、如果一組向量：

可以生成n維空間，則這組向量的一個子集，是n維空間的一組基。關于這個就不論證了，其實也比較容易了解，如果有m個向量，對于它如果大于n的話，就是将m個向量中線性相關的向量進行删除，直到删到這m個向量是線性無關為止，這些m個向量就是整個n維空間的一組基啦，知道這個特性有啥意義呢？很多時候可能并不需要構造n維空間中的一組基，如果我們知道一組向量可以生成n維空間的話，我們隻需要從這組向量中挑選出一個子集就能形成n維空間的一組基了，而挑選出的這組向量就是要滿足線性無關，而根據咱們所學的性質，對于一組向量既要線性無關，又能生成n維空間，這組向量的子集一定是有n個，換言之就是說隻要從這p個向量中挑選出n個線性無關的向量就形成了這n維空間的一組基。

小結：形成自己的知識圖譜：

最後對咱們這次所學進行一個梳理，說實話學了太多新的概念了，學到這都已經學暈了，是以有必要再重新梳理一下知識圖譜，當然對于具體的概念就不細說了：

首先咱們學習了線性組合的概念，然後由它引出了：

簡單來說線性相關就是一個向量可以用其它向量的線性組合來表示，而線性無關則是一個向量沒有任何其它向量的線性組合來表示。

接下來又引出了生成空間的概念：

一組向量可以生成某個空間是指在空間中取出任何一個向量都能被這組向量的線性組合所表示，此時又跟線性組合聯系在了一起，而由線性無關跟生成空間又引出了一個新的概念：

其實這也就是此次所學的主要大綱，然後對于之前的方陣的等價命題随着這次的學習又多出了兩個：

而其實對于标紅的這倆命題又可以引出一個新的命題：

另外對于空間的基再回憶一下，對于一個空間來說它有無數組基，而最常用的是用标準機關向量所組成的基：

實際上對于這樣的基有一個單獨的名字來定義：标準正交基。關于這塊之後會學到，先抛出個概念。

當然也可以空間中任意取兩個不共線的向量為基：

它跟标準正交基其實是存在諸多共性的：二維空間中的任何一個向量或者任何一個點都可以被一組基給唯一的表示出來。最後再來說一個問題，就是既然已經有了标準正交基了，直接都以這樣的标準正交基來當空間的基不就可以了，為啥還要泛化出對于空間中任意取兩個不共線的向量都可以作為空間的基的情況呢？其實是有時候會對空間的其他基感興趣，而非隻是标準正交基，比如在實體學中要看這個方塊在下坡它的受力情況：

此時要想分析其受力的話用這樣的坐标系遠比标準正交基(垂直于底平線和平行于底平線)所在的坐标系要有意義：

雖然這個坐标系是斜的，但是對于我們關注的這個方塊其實坐标系還是正的。同樣再舉一個實體學的例子，對于一個飛機在前進時的受力情況：

此時就可以從飛機的引擎給飛機帶來前進的動力：

以及飛機所受的像風力或者阻力等外界因素所帶給它的力：

用這樣的坐标系計算就遠比标準正交基所代表的坐标系要更加有意義。這次學習木有涉及到程式設計，純學概念，但是這些概念都是非常重要的，也是為後續更進一步學好線性代數的進階知識必經之路。