一、熱身練習
要求：生成一個5*5的機關矩陣
warmUpExercies 函數:
function A = warmUpExercise() %定義函數A為warmupexercise
A = eye(5); %eye()機關矩陣，該函數的功能即生成5*5的機關矩陣
end 調用：
fprintf('Running warmUpExercise ... \n');
fprintf('5x5 Identity Matrix: \n');
warmUpExercise() %調用該函數
fprintf('Program paused. Press enter to continue.\n');
pause; 輸出：
二、繪圖（plotting）
要求：根據給出的資料（第一列為所在城市的人口，第二列為對應城市的利潤，負數表示虧損）繪制散點圖，以更好選擇餐館的位址
plotData函數：
function plotData(x, y)
plot(x,y,'rx','MarkerSize',10);
ylabel('Profit in $10,000s'); % 設定y軸标簽
xlabel('Population of City in 10,000s'); % 設定x軸标簽
end *MarkerSize: 标記大小，預設為6
* rx：紅色的叉号
調用：
fprintf('Plotting Data ...\n')
data = load('ex1data1.txt'); % 加載data檔案
X = data(:, 1); y = data(:, 2); % 将第一列全部元素指派給X，第二列全部元素指派給y
m = length(y); % 定義m為訓練樣本的數量
plotData(X, y); % 将X，y作為參數調用plotData函數
fprintf('Program paused. Press enter to continue.\n');
pause; 輸出：
三、代價函數和梯度下降
線性回歸的目标是最小化代價函數J(θ):
，在這裡使用平方法來表示誤差，誤差越小代表拟合的越好。
其中假設 h(x) 由線性模型給出:
模型的參數是θj 通過調整θ的值來最小化成本函數，一種方法是梯度下降，在這種算法中，每次疊代都要更新θ
随着梯度下降的每一步，參數θj 接近實作最低成本J(θ)的最佳θ值
*與
=
不同，
:=
代表着 同時更新(simultaneously update)，簡單來說就是先将計算的 θ存入一個臨時變量，最後所有 θ都計算完了一起再指派回去，例如
temp1 = theta1 - （theta1 - 10 * theta2 * x1） ;
temp2 = theta2 - （theta1 - 10 * theta2 * x2） ;
theta1 = temp1 ;
theta2 = temp2 ; 在資料中增加一列1，因為代價函數中θ0的系數為1，且将參數初始化為0，将學習率α初始化為0.01
矩陣表示的話類似于：
X = [ones(m, 1), data(:,1)]; % 向x第一列添加一列1
theta = zeros(2, 1); % 初始化拟合參數
iterations = 1500; % 疊代次數
alpha = 0.01; % 學習率設定為0.01 ==》計算代價函數J（檢測收斂性）
function J = computeCost(X, y, theta)
m = length(y);
J = 0;
J = sum((X*theta-y).^2)/(2*m);
end 調用代價函數：
fprintf('\nTesting the cost function ...\n')
% compute and display initial cost
J = computeCost(X, y, theta); % 調用代價函數J
fprintf('With theta = [0 ; 0]\nCost computed = %f\n', J);
fprintf('Expected cost value (approx) 32.07\n');
% further testing of the cost function
J = computeCost(X, y, [-1 ; 2]); % 調用代價函數J fprintf('\nWith theta = [-1 ; 2]\nCost computed = %f\n', J);
fprintf('Expected cost value (approx) 54.24\n');
fprintf('Program paused. Press enter to continue.\n');
pause; 運作結果：
可以看到，當theta取[0;0]時的代價函數比取[-1;2]的代價函數小，說明[0;0]更優。
gradientDescent.m——運作梯度下降：
說明：驗證梯度下降是否正常工作的一種好方法是檢視J的值并檢查它是否随每一步減少。 gradientDescent.m的代碼在每次疊代時調用computeCost并列印J的值。 假設已正确實作了梯度下降和computeCost，則J的值不應該增加，并且應該在算法結束時收斂到穩定值。
在梯度下降中，每次疊代都執行下面的這個更新：
梯度下降函數：
function [theta, J_history] = gradientDescent(X, y, theta, alpha, num_iters)
%GRADIENTDESCENT Performs gradient descent to learn theta
% theta = GRADIENTDESCENT(X, y, theta, alpha, num_iters) updates theta by
% taking num_iters gradient steps with learning rate alpha
% Initialize some useful values
m = length(y); % number of training examples
J_history = zeros(num_iters, 1);
for iter = 1:num_iters
% ====================== YOUR CODE HERE ======================
% Instructions: Perform a single gradient step on the parameter vector
% theta.
%
% Hint: While debugging, it can be useful to print out the values
% of the cost function (computeCost) and gradient here.
%
theta = theta-alpha*(1/m)*X'*(X*theta-y);
% ============================================================
% Save the cost J in every iteration
J_history(iter) = computeCost(X, y, theta);
end
end 調用梯度下降函數：
fprintf('\nRunning Gradient Descent ...\n')
% run gradient descent 運作梯度下降函數
theta = gradientDescent(X, y, theta, alpha, iterations);
% print theta to screen 将theta值輸出
fprintf('Theta found by gradient descent:\n'); % 利用梯度下降函數計算出的theta
fprintf('%f\n', theta);
fprintf('Expected theta values (approx)\n'); % 期望的theta
fprintf(' -3.6303\n 1.1664\n\n'); 運作結果：
将得到的參數用MATLAB進行繪制并預測35000和70000人口的利潤：
% Plot the linear fit 繪制線性拟合直線
hold on; % keep previous plot visible 指目前圖形保持，即樣本點仍然保持在圖像上
plot(X(:,2), X*theta, '-')
legend('Training data', 'Linear regression') % 建立圖例标簽
hold off % don't overlay any more plots on this figure
% Predict values for population sizes of 35,000 and 70,000
predict1 = [1, 3.5] *theta;
fprintf('For population = 35,000, we predict a profit of %f\n',...
predict1*10000);
predict2 = [1, 7] * theta;
fprintf('For population = 70,000, we predict a profit of %f\n',...
predict2*10000);
fprintf('Program paused. Press enter to continue.\n');
pause; 運作結果：
*注意A*B和A.*B的差別，前者進行矩陣乘法，後者進行逐元素乘法
四、可視化代價函數J
這部分代碼已經給出
fprintf('Visualizing J(theta_0, theta_1) ...\n')
% Grid over which we will calculate J
theta0_vals = linspace(-10, 10, 100);
theta1_vals = linspace(-1, 4, 100);
% initialize J_vals to a matrix of 0's
J_vals = zeros(length(theta0_vals), length(theta1_vals));
% Fill out J_vals
for i = 1:length(theta0_vals)
for j = 1:length(theta1_vals)
t = [theta0_vals(i); theta1_vals(j)];
J_vals(i,j) = computeCost(X, y, t);
end
end
% Because of the way meshgrids work in the surf command, we need to
% transpose J_vals before calling surf, or else the axes will be flipped
J_vals = J_vals';
% Surface plot
figure;
surf(theta0_vals, theta1_vals, J_vals)
xlabel('\theta_0'); ylabel('\theta_1');
% Contour plot
figure;
% Plot J_vals as 15 contours spaced logarithmically between 0.01 and 100
contour(theta0_vals, theta1_vals, J_vals, logspace(-2, 3, 20))
xlabel('\theta_0'); ylabel('\theta_1');
hold on;
plot(theta(1), theta(2), 'rx', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2); 運作結果：
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