codevs1169 傳紙條(棋盤dp)

題目描述 Description

小淵和小軒是好朋友也是同班同學，他們在一起總有談不完的話題。一次素質拓展活動中，班上同學安排做成一個m行n列的矩陣，而小淵和小軒被安排在矩陣對角線的兩端，是以，他們就無法直接交談了。幸運的是，他們可以通過傳紙條來進行交流。紙條要經由許多同學傳到對方手裡，小淵坐在矩陣的左上角，坐标(1,1)，小軒坐在矩陣的右下角，坐标(m,n)。從小淵傳到小軒的紙條隻可以向下或者向右傳遞，從小軒傳給小淵的紙條隻可以向上或者向左傳遞。

在活動進行中，小淵希望給小軒傳遞一張紙條，同時希望小軒給他回複。班裡每個同學都可以幫他們傳遞，但隻會幫他們一次，也就是說如果此人在小淵遞給小軒紙條的時候幫忙，那麼在小軒遞給小淵的時候就不會再幫忙。反之亦然。

還有一件事情需要注意，全班每個同學願意幫忙的好感度有高有低（注意：小淵和小軒的好心程度沒有定義，輸入時用0表示），可以用一個0-100的自然數來表示，數越大表示越好心。小淵和小軒希望盡可能找好心程度高的同學來幫忙傳紙條，即找到來回兩條傳遞路徑，使得這兩條路徑上同學的好心程度隻和最大。現在，請你幫助小淵和小軒找到這樣的兩條路徑。

輸入描述 Input Description

輸入的第一行有2個用空格隔開的整數m和n，表示班裡有m行n列（1<=m,n<=50）。

接下來的m行是一個m*n的矩陣，矩陣中第i行j列的整數表示坐在第i行j列的學生的好心程度。每行的n個整數之間用空格隔開。

輸出描述 Output Description

輸出共一行，包含一個整數，表示來回兩條路上參與傳遞紙條的學生的好心程度之和的最大值。

樣例輸入 Sample Input

3 3

0 3 9

2 8 5

5 7 0

樣例輸出 Sample Output

34

資料範圍及提示 Data Size & Hint

30%的資料滿足：1<=m,n<=10

100%的資料滿足：1<=m,n<=50

題目說找來回兩條不相交路徑，其實也可以等價為從（1,1）到(n,m)的兩條不相交路徑。

如果是隻找一條，那又回到了最經典的 dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]) + a[i][j]。

現在找兩條，可以先把數組開到四維。

dp[x1][y1][x2][y2] = max{  dp[x1][y1-1][x2][y2-1],

 dp[x1-1][y1][x2-1][y2],

 dp[x1-1][y1][x2][y2-1],

 dp[x1][y1-1][x2-1][y2]

  }

+ a[x1][y1] + a[x2][y2]

要兩條路徑不能相交，也就是dp[x][y][x][y]屬于非法狀态，判斷一下不能經過此狀态即可。

最簡單的方法是令x2>x1,因為dp[x1][y1][x2][y2]與dp[x2][y2][x1][y1]是等價的。

由于m和n最大到50，開四維的數組太大，當中有很多重複和浪費。

腦補一下，兩張紙條同時傳的話，同一時刻它們穿過的人數是相同的，根據這點可以進行降維。

令d[i][x1][x2]表示第i步兩張紙條的x坐标分别是x1和x2，則y1=i-x1+2，y2=i-x2+2。

這樣就可以得出dp方程

d[i][x1][x2] = max{ d[i-1][x1][x2], d[i-1][x1-1][x2], d[i-1][x1][x2-1], d[i-1][x1-1][x2-1] }

+ a[x1][i-x1+2] + a[x2][i-x2+2]

注意答案d[n+m-2][n][n]要特算(因為這屬于"不合法狀态")

#include<iostream>
#include<cassert>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<string>
#include<iterator>
#include<cstdlib>
#include<vector>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
using namespace std;
#define rep(i,f,t) for(int i = (f),_end_=(t); i <= _end_; ++i)
#define rep2(i,f,t) for(int i = (f),_end_=(t); i < _end_; ++i)
#define dep(i,f,t) for(int i = (f),_end_=(t); i >= _end_; --i)
#define dep2(i,f,t) for(int i = (f),_end_=(t); i > _end_; --i)
#define clr(c, x) memset(c, x, sizeof(c) )
typedef long long int64;
const int INF = 0x5f5f5f5f;
const double eps = 1e-8;


//*****************************************************

int d[100][55][55];
int a[55][55];

inline int max(int i,int j,int k,int l)
{
    return max(max(i,j),max(k,l));
}
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    rep(i,1,n)rep(j,1,m)scanf("%d",&a[i][j]);

    rep(i,1,n+m-2)rep(x1,max(1,i+2-m),min(n,i+1))
    {
        int y1 = i - x1 + 2;
        rep(x2,max(x1+1,i+2-m), min(n,i+1))
        {
            int y2 = i - x2 + 2;

            d[i][x1][x2] = max(d[i-1][x1-1][x2-1], d[i-1][x1][x2-1],
                               d[i-1][x1-1][x2],d[i-1][x1][x2])
                            + a[x1][y1] + a[x2][y2];
        }
    }
    d[n+m-2][n][n] = d[n+m-3][n-1][n];
    cout<<d[n+m-2][n][n]<<endl;   //直接輸出d[n+m-3][n-1][n]即可
    return 0;
}