什麼是集合？
集合 是由指定範圍内的滿足給定條件的所有對象聚集在一起構成，每一個對象稱為這個集合的元素。
外延公理 + 空集存在公理 + 無序對公理 + 并集公理 + 幂集公理 + 無窮公理 +替換公理 + 正則公理 + 選擇公理。(ZFC 公理化集合論)
例子：
1 所有英文字母
2 所有小于 100 的正奇數
3 中國所有的殘障人士
4 世界上所有的數學家
5 某植物園的所有植物
6 天安門廣場所有的路燈和樹
集合的符号表示
集合的數學符号
通常情況下
- 用帶或不帶下标的大寫英文字母表示集合: A,B, C, · · · , A1,B1, C1, · · ·
- 用帶或不帶下标的小寫英文字母表示元素: a, b, c, · · · , a1, b1, c1,
常用集合：
自然數集合 N: 0, 1, 2, 3, · · ·
整數集合 Z: · · · , 2, 1, 0, 1, 2, · · ·
有理數集合 Q 與實數集合 R，等等
屬于關系
若 a 是集合 A 中的元素，則稱 a屬于A，記為 a ∈ A 若 a 不是集合 A 中的元素，則稱 a不屬于A，記為 a /∈ A
枚舉法
列出集合中的全部元素或者僅列出一部分元素，其餘用省略号 (· · ·) 表示
A = {a, b, c, d}
B = {2, 4, 6, 8, 10, · · · }
叙述法
通過刻畫集合中元素所具備的某種性質或特性來表示一個集合。P = {x|P(x)}
A = {x|x是英文字母中的元音字母}
B = {x|x ∈ Z, x < 10}
C = {x|x = 2k, k ∈ N}
文氏圖
文氏圖是利用平面上的點來做成對集合的圖解方法。一般使用平面上的方形或圓形表示一個集合，而使用平面上的一個小圓點來表示集合的元素。
基數
定義
集合 A 中的元素個數稱為集合的基數(base number)，記為 |A|
若一個集合的基數是有限的，稱該集合為有限集(finite set)
若一個集合的基數是無限的，稱該集合為無限集(infinite set)
集合類型
空集
不含任何元素的集合叫做空集(empty set)，記作 ∅.
空集可以符号化為 ∅ = {x|x ≠ x}.
設 A = {x|x ∈ R, x^2 < 0}, 則 A = ∅
|∅| = 0, |{∅}| = 1
空集是絕對唯一的。
全集
針對一個具體範圍，我們考慮的所有對象的集合叫做全集(universal set)，記作 U 或 E.
在文氏圖一般使用方形表示全集。
在立體幾何中，全集是由空間的全體點組成的；
在我國的人口普查中，全集是由我國所有人組成的。
全集是相對唯一的
集合的關系
集合的相等關系
元素的基本特性
- 集合中的元素是無序的。{1, 2, 3, 4} 與 {2, 3, 1, 4} 相同。
-
集合中的元素是不同的。{1, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 2} 與 {1, 2, 3, 4} 相同。
外延性定理：
兩個集合 A 和 B 相等，當且僅當它們的元素完全相同，記為 A = B, 否則 A 和 B不相等，記為A ≠ B.
子集和真子集
設 A,B 是任意兩個集合，
如果 B 的每個元素都是 A 中的元素，則稱 B 是 A 的子集，也稱做B 被 A 包含或A 包含
B，記作B ⊆ A，否則記作B ⊈ A.
如果 B ⊆ A 并且 A = B，則稱 B 是 A 的真子集，也稱做B 被 A 真包含或A 真包含 B，記
作B ⊂ A，否則記作B ̸⊂ A.
⊆” 關系的數學語言描述為：B ⊆ A ⇔ 對 ∀x, 如果 x ∈ B, 則 x ∈ A
證明集合相等
設 A, B 為任意兩個集合，則 A = B ⇔ A ⊆ B 并且 B ⊆ A
證明：1 首先證明 A ⊆ B：∀x ∈ A, · · · , x ∈ B. ∴ A ⊆ B. 2 其次證明 B ⊆ A：∀x ∈ B, · · · , x ∈ A. ∴ B ⊆ A.
由以上兩點，可知 A=B。
n 元集的子集
例子：
設 A = {a, b, c}，求出 A 的所有子集。
解：由于 |A|=3，因而 A 的子集可能包含的元素個數 m = 0, 1, 2, 3
m = 0, 即沒有任何元素，也就是空集 ∅
m = 1, 從 A 中任取 1 個元素，則有 C 1 3 C_1^3 C13 = 3 個：{a}, {b}, {c}
m = 2, 從 A 中任取 2 個元素，則有 C 2 3 C_2^3 C23 = 3 個：{a, b}, {b, c}, {a, c}
m = 3, 從 A 中任取 3 個元素，則有 C 3 3 C_3^3 C33 = 1 個：{a, b, c}
以上 8 個集合就是 A 的所有子集。
⋆ 推廣: 對于任意 n 元集合 A，它的 m 元 (0 ⩽ m ⩽ n) 子集個數為 C n m C^m_n Cnm 個,是以不同的子集個數為： C n 0 + C n 1 + ⋅ ⋅ ⋅ + C n n = ( 1 + 1 ) n = 2 n . C^0_n + C^1_n + · · · + C_n^n = (1 + 1)^n = 2^n. Cn0+Cn1+⋅⋅⋅+Cnn=(1+1)n=2n.
幂集
設 A 為任意集合，把 A 的所有不同子集構成的集合叫做 A 的幂集(power set), 記作 P(A)，即，P(A) = {x|x ⊆ A}
例子：
設 A = {a, b, c}，B = {a, {b, c}}，求他們的幂集 P(A) 和 P(B)。 解：P(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, {a, b, c}} P(B) = {∅, {a}, {{b, c}}, {a, {b, c}}}
幂集也叫做集族或集合的集合，對集族的研究在數學方面、知識庫和表處理語言以及人工
智能等方面都有十分重要的意義。
并集
設 A, B 是兩個集合，則集合 A 與 B 的并 集定義為：A ∪ B = {x|x ∈ A 或 x ∈ B}
例子：
- 集合 {1, 3, 5} 和集合 {1, 2, 3} 的并集是 {1, 2, 3, 5};
-
若集合 A 是選修了音樂欣賞的學生，B 是選修了西方文學的學生，則 A ∪ B 是選
修了音樂欣賞或選修了西方文學或兩門課都同時選修的學生.
交集
設 A, B 是兩個集合，則集合 A 與 B 的交 集定義為：A ∩ B = {x|x ∈ A 并且 x ∈ B}
例子：
- 集合 {1, 3, 5} 和集合 {1, 2, 3} 的交集是 {1, 3};
- 若集合 A 是選修了音樂欣賞的學生，B 是選修了西方文學的學生，則 A ∩ B 是即選修了音樂欣賞又選修了西方文學的學生
補集
設 U 是全集，則集合 A 的補集定義為：
A = {x|x /∈ A}
例子：
- 集合 {1, 3, 5} 對于全集 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 的補集是 {2, 4, 6, 7, 8};
-
若集合 A 是選修了音樂欣賞的學生，全集 U 是所有在校學生，則 A 是沒有選修音
樂欣賞的學生
差集
設 A, B 是兩個集合，則集合 A 與 B 的差 集定義為：
A B = {x|x ∈ A 并且 x /∈ B}
例子：
- 集合 {1, 3, 5} 和集合 {1, 2, 3} 的差集是 {5};
-
若集合 A 是選修了音樂欣賞的學生，B 是選修了西方文學的學生，則 A B 是選
修了音樂欣賞但沒有選修西方文學的學生
對稱差集
設 A, B 是兩個集合，則集合 A 與 B 的對稱
差集定義為：
A ⊕ B = {x|(x ∈ A 并且 x /∈ B)或者(x /∈ A 并且 x ∈ B)}
例子：
- 集合 {1, 3, 5} 和集合 {1, 2, 3} 的對稱差集是 {2, 5};
-
若集合 A 是選修了音樂欣賞的學生，B 是選修了西方文學的學生，則 A ⊕ B 是隻
選修了音樂欣賞和西方文學兩門課中某一門的學生.
并集和交集的擴充
設 A1,A2, · · · , An 是任意 n 個集合，則這 n 個集合的并集是包含那些至少是這組集合中一個集合
成員的元素的集合，即
設 A1,A2, · · · , An 是任意 n 個集合，則這 n 個集合的交集是包含那些屬于這組集合中所有集合成
員的元素的集合，即
例子：
設 A = {0, 2, 4, 6, 8}, B = {0, 1, 2, 3, 4}, C = {0, 3, 6, 9}，則
A ∪ B ∪ C = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9} A ∩ B ∩ C = {0}
集合運算的基本等式
文氏圖了解：
集合相等的證明
自然數集的定義
如何比較集合的大小
等勢
可數集合
不可數集合