混沌現象檢測基礎

作者：fasiondog

混沌動力學的基礎知識

混沌動力學的内容十分豐富，實際應用十分廣泛， 在這裡我們僅能做一些簡單的和我們後面将要讨論到的有關的混沌動力學的基本知識，包括相空間、維數和李雅譜諾夫指數的概念。

1

動力系統、相空間（狀态空間）

一個動力系統指的是一族變量，它們随時間以可以預測的方式變化（即系統是确定的）。這兒的時間可以是連續的，也可以是離散的。在動力系統理論中，系統的基本情況稱為狀态。描述狀态随時間而變化的規律，稱為動态特性。這個變化的過程可用相空間（狀态空間）形象的表示出來。

例如，連續時間系統中的例子就是一個N維的，自發的，普通微分方程組：

    寫成矢量形式為：

。這是一個動力系統，是因為若是給定了初始值x(0)，我們原則上可以解出x(t) (t>0)。圖（2-1）顯示了在三維空間中，系統狀态随時間經曆的狀态，圖中的（x(1),x(2),x（3））空間即為相空間。  

在離散系統中的例子則是映射，寫成矢量形式即：

。

有N個元素，

。一旦給定了

，我們就能通過

得到n=1時的系統狀态。有了

，我們就能通過

得到n=2時系統的狀态。如此類推，我們就得到了離散時間系統的軌迹：

……

相空間法，是現代科學研究中的有用工具，它提供了一種将數字轉化為圖形的方法。在相空間中，動力系統在某一瞬間的全部性态都集中于一點上，即該瞬間的動力系統。而系統的演變情況，則可通過動點來描述。動力系統随着時間的流逝，這些點将在相空間中描繪出其自身的軌迹。

動力系統随時間的變化，當發生在連續的時間系統中時，我們稱它為“流” ；當發生在離散的時間系統中時，則稱之為“映射” 。

2 吸引子及其分類

吸引子（attractor）位于狀态空間中，是一種用以刻劃狀态空間中的長期行為的幾何形式，也是系統行為的最終歸宿。

（以下的分類參見：胡瑞安、胡紀陽、徐樹公著，《分形的計算機圖像及其應用》，中國鐵道出版社，1995年）

第一類吸引子是狀态空間中的不動點，是最簡單的一類吸引子。在狀态空間中随着時間的流逝，系統的軌迹趨于一個固定的點上，這個固定的不動點就叫做不動點。

第二類吸引子是狀态空間中的閉環，或極限環，這是複雜性居第二位的吸引子，它描述的是穩定振蕩，例如，鐘擺的周期運動，和心髒的跳動，是刻劃周期性行為的吸引子。

第三類吸引子為環面吸引子，它描述的是複合振蕩的拟周期行為，它的軌道在狀态空間中的一個環面上繞行。

以上這三類吸引子，統稱為非混沌吸引子，它們的行為是可以預測的。

第四類吸引子是奇異吸引子，又稱混沌吸引子。Lorenz吸引子就是它的第一個觀察到的執行個體。它具有複雜的拉伸、折疊與伸縮的結構，可以使指數型發散保持在有限的空間中，就好象廚師揉面團做拉面一樣，其過程如下：首先是“拉伸” ，面團的臨近部分按指數規律拉長，數學上稱之為發散。然後，再将拉伸長的面團“折疊”回來。随後，又是拉伸、折疊，不斷的重複這一操作，反複進行。由此可知，混沌吸引子應是一種分維形态的結構，它是不可能用歐幾裡德幾何學來描述的。

吸 引子的産生，可以解釋為：耗散系統在其運動與演化的過程中，相體積的不斷收縮因而産生吸引子。收縮是由于阻尼等耗散項的存在所至。吸引子的維數一般比原始 相空間低，這是由于耗散過程中，消耗了大量小尺度的運動模式，因而使得确定性系統中長時間行為的有效自由度減少。如果系統最終剩下一個周期運動，則稱該系 統具有極限環吸引子。二維以上的的吸引子，表現為相空間相應維數的環面。

3 混沌吸引子

    混沌吸引子又稱奇異吸引子，它是混沌中特有的。混沌吸引子在形态、結構和發生機理方面，均與非混沌吸引子不同。

    混沌吸引子是整體穩定性與局部不穩定性共同作用的結果。耗散是整體的穩定因素，它使運動軌道穩定的收縮到吸引子上。但如果動力系統在其相體積收縮的同時， 它在某些方向上的運動又是不穩定的，例如，在這些方向上存在着指數性的發散，那麼，它的最終狀态将會是怎樣的呢？顯然，必須在有限區域，即吸引子上，實作 運動軌道的局部不穩定性，例如，是運動軌道分離。隻有一種辦法能做到這一點，那就是運動軌道無窮次的折疊。這種折疊保證了某些運動方向上的指數型發散，于 是就産生了具有無窮嵌套自相似結構的吸引子，即混沌吸引子。

    混沌吸引子有幾個“奇異”的特性，首先是它的分形性質，它作為相空間的一個子集，具有精細的嵌套自相似結構，得到的圖形的維數不是一個整數。

    其次是混沌吸引子有兩種運動方向，一切在吸引子之外的運動都向它靠攏，對應着穩定方向；而一切到達吸引子内部的運動軌道都互相排斥，對應着不穩定的方向。 它作為一個整體是動力系統最終的歸宿，對于微小擾動是穩定的，即最終運動方向會到達吸引子上；但是吸引子内部的運動卻對初始條件非常敏感，進入奇異吸引子 的部位稍有差異，運動軌道變會截然不同。這也是混沌的初值敏感依賴性根本原因之所在。必須指出，隻有耗散系統才存在混沌吸引子，但并非隻有耗散系統才存在 混沌。

4 李雅譜諾夫指數

    在混沌系統中不可能對系統的狀态進行長期的預測，是因為在初始狀态的微小不确定性将會迅速的按指數速度擴大。預測能力的迅速喪失，是因為系統有這樣的特 性，那些初始狀态比較接近的軌迹總體上會指數發散。在非混沌系統中，互相靠近的軌迹要麼指數的收斂，要麼慢于指數速度的發散（最壞情況），至少，在理論 上，長期預測是可能的。

    這種軌迹收斂或發散的比率，稱為李雅普諾夫指數（Lyapunov exponent）。 它的重要作用之一就是判斷系統的混沌行為，正的李雅普諾夫指數意味着混沌。李雅普諾夫指數反映了相鄰軌迹的分離速率，一般情況下，李雅普諾夫指數的數目和 相空間的維數一樣多，每個指數描述一類互相靠近的軌迹對的行為。當然這并不意味着某一特定的李雅普諾夫指數隻與相空間中某唯一的方向（例如坐标軸方向）有 關。對于維數大于1的系統，存在李雅譜諾夫指數的集合，我們稱之為李雅譜諾夫指數譜。

    現在我們給出李雅普諾夫指數譜的一種定義。給定一個n維相空間的連續耗散動力系統，假定系統的初始條件中一個無窮小的n 維圓球的長期演變是可以控制，并且由于演變過程中的自然變形，圓球将變為橢球。如果在t=0時刻，圓球的中心在吸引子上，橢球的所有主軸按最快到最慢增加速度的順序排列，那麼第i個李雅譜諾夫指數就根據第I個軸的增加速率pI(t)定義：

注意，橢球的線性範圍按

增加，由前兩個主軸定義的區域按

增加，前三個主軸定義的體積按

增加，如此等等。這個特性事實上表達了李雅譜諾夫指數譜的這樣一種含義，即前j個指數的和由前j個主軸定義的體積指數增長的長期平均速率确定。

    正因為正的李雅譜諾夫指數的出現代表着系統中存在着混沌現象，是以如何計算李雅譜諾夫指數顯得極為重要。這将是我們在下一章中主要讨論的對象。

5 分數維

    和混沌學研究一樣，另一門嶄新的學科——分形幾何，也是現代非線性科學的重要組成部分。混沌主要讨論非線性動力系統的不穩定、發散的過程，但系統在相空間中總是收斂于一定的吸引子，這與分形的生成過程十分相象，事實上，混沌吸引子就是分形集。

    在傳統的歐幾裡德幾何學中，幾何形體的對象具有一定的特征長度和标度，描繪的是對象規則的形狀。而分形幾何則是無特征長度與标度的，它擅長描述自然界普遍 存在的景物，如山川、閃電等。描述物體分形特性的一個重要概念就是——分數維。在歐氏空間中，人們習慣把空間看成三維的，平面或球面看成二維，而把直線或 曲線看成一維的。人們習慣了整數的維數。而在分形理論，維數被視為分數。

    維數是空間和客體的重要幾何參數，例如在狀态空間中維數反映了描述該空間中運動所需要的不多不少的變量的個數，而在吸引子中維數則說明了刻劃該吸引子所必需的資訊量。

    分形數學中的維數并不是一個很簡單、易于了解的東西。至今為止，數學家們已經發展出了十多種不同的維數，拓撲維、Hausdorrff維、自相似維、盒子維、容量維、資訊維、相關維、填充維、Lyapunov維等等。在這裡我們簡要介紹資訊維和Lyapunov維，這是因為在我們開發的工具箱中，使用了這兩種維數的概念。在混沌參數檢測工具箱中，我們計算了資訊維，而在李雅譜諾夫指數工具箱中，我們則在計算李雅譜諾夫指數譜的同時計算了李雅譜諾夫維數。

5.1． 盒子維

在N維空間中，我們用邊長ε的N維立方體覆寫集合S,将覆寫S所需的最少的立方體數記為。則集合S的盒子維為：

5.2． 資訊維

把機率引入維數，則有：

          其中

表示集合S中的一個點落在第

個立方體中的機率，可以看到當

時，DI=D0，資訊維是盒子維的一種推廣。

5.3． 李雅譜諾夫維

在得到了系統的李雅譜諾夫指數後，可以很友善的計算Lyapunov維數：

         其中k是滿足

的最大整數，

（

=1，2，…，k）就是Lyapunov指數。

混沌吸引子的相空間重構

通常的實驗中我們并不能紀錄一個系統的所有方面，而僅僅是其中的少數方面，為了能從實驗資料中明确的證明存在簡單的混沌吸引子，人們遇到的首要問題就是如何根據有限的資料來“重構”吸引子。我們特别要提及James P.Grutchfield，J.Doyne Framer，Norman H.Pachard及Robert S.Shaw四人小組的工作：他們提出的相空間的重構方法，現已在許許多多領域中成為主要的技術，并由Takens用 數學為其奠定了可靠的基礎。它的基本思想是：系統中的任一分量的演化都是由與之互相作用着的其它分量所決定的。是以，這些相關分量的資訊就隐含在任一分量 的發展過程中。為了重構一個“等價”的狀态空間，隻需考察一個分量，并将它在某些固定的時間延遲點（比如一秒、兩秒前等）上的測量作為新維處理，即延遲值 被看作新的坐标。它們确定了某個多元狀态空間中的一點。重複這一過程并測量相對于不同時間的各延遲量，就可以産生許多這樣的點。然後再運用其它方法來檢驗 這些點是否存在于混沌吸引子上。雖然這種表示方法在許多方面是任意的，但業已證明，它可以将吸引子的許多性質儲存下來。這對于甚至不知應當去測量那些變量 而光知道一個資料序列或者不能直接測量深層的自變量而僅僅有表現于現象上的資料序列的研究人員來說，也有了可以研究系統的動力行為的可能。

具體構造方法如下：

設有一時間資料序列{x(1),x(2),x(3),..,x(N)},現構造d維的狀态空間點，X(i)={x(i),x(i+τ),x(i+2*τ),..x(i+(d-1)*τ)}。i=1,2,3,..,N。如下所示：

我們可以看到，相空間（狀态空間）的維數也就是資料序列的時間延遲點的個數；而以後我們常常提到的某個時間序列的嵌入維，是指能夠完全包容以狀态轉移構成的吸引子的最小相空間的維數。即吸引子在該相空間中不能有任何交疊之處。

    使用相空間重構技術能夠在一定程度上分辨噪聲與混沌。真正的噪聲是完全随機的，在通過相空間重構出來後總表現出一團糟；而混沌是由簡單過程創生出的“有序 的無序”，通過相空間重構可以重制吸引子的結構。因為人眼僅能看到三維空間的景象，是以通過重構技術來直接觀察吸引子的結構，将我們局限在低于三維的混沌 吸引子中，而更高維的吸引子或許是無法分辨的。