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HW1
1. 設 M 為正多面體，它的每個面有 p 個邊，每個頂點是 q 個面的交點. 用Euler 定理 v − e + f = 2 , v − e + f = 2, v−e+f=2,證明：
(a). 1 p + 1 q = 1 2 + 1 e \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{2}+\frac{1}{e} p1+q1=21+e1
(b). 由 (a) 證明正多面體隻有 5 種.
2. 計算由立方體按下圖中箭頭粘合邊并且對面兩兩粘合（即上表面和底面粘合，前表面和後表面粘合，左側面和右側面粘合）得到的商空間的Euler示性數
假設一個正多面體的每個面都是正 p p p邊形，那麼所有 F 個面一共就有 p ⋅ F p · F p⋅F條邊；每兩條邊拼在一起形成了一條棱，因而總的棱數就是 E = p F 2 E =\frac{pF}{2} E=2pF, F F F 就應該等于 2 ⋅ E / p 2 · E / p 2⋅E/p
不妨再假設每個頂點處都彙集了 q q q 條棱，那麼總的棱數似乎應有 q ⋅ V q · V q⋅V個；但這樣計算的話，每條棱都被重複算了兩次，因而總的棱數實際上應該是 E = q ⋅ V / 2 E = q · V / 2 E=q⋅V/2
HW3
1. 設 T \mathcal{T} T 是 X X X 上的拓撲，A 是 X X X 的一個子集，規定：
T ′ = { A ∪ U ∣ U ∈ T } ∪ { ∅ } \mathcal{T}^{\prime}=\{A \cup U \quad | U \in \mathcal{T}\} \cup\{\emptyset\} T′={A∪U∣U∈T}∪{∅}
證明： T ′ \mathcal{T}^{\prime} T′也是 X X X上的拓撲
2. 設集合 X = { a , b , c } X = \{a,b,c\} X={a,b,c}, 請給出 X X X上的所有可能的拓撲.
HW4
3. 設 X X X是一個拓撲空間，則對于任意 A , B ⊂ X A,B\subset X A,B⊂X 有：
(a). ( A ∩ B ) ∘ = A ∘ ∩ B ∘ (A \cap B)^{\circ}=A^{\circ} \cap B^{\circ} (A∩B)∘=A∘∩B∘
(b). A ∘ ∘ = A ∘ A^{\circ \circ}=A^{\circ} A∘∘=A∘
4. 證明：每一個離散拓撲空間都是可度量化的。（ 提示：注意到離散拓撲空間的任意子集都是開集，要證明其可度量化，隻需說明存在⼀個度量，使得空間的任意⼀個子集都可以表示成⼀些由該度量定義的開球的并.)
HW5
3. 度量空間的每個子集的導集是閉集.