【線性代數（9）】矩陣的秩

矩陣的秩

• ​​1 k階子式和秩的定義​​
• ​​2 矩陣的秩的定理​​
• ​​3 有關秩的性質​​

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1 k階子式和秩的定義

給定一個矩陣，任取k行和k列交叉元素，組成的行列式，就成為k階子式，比如取2階子式，可以取前兩行和後兩列，結果如下:(由于隻有3行，是以最多有3階子式)

然後檢視一下示例的這個矩陣可以取得的各階子式的值

• 1階子式的值：方陣中各個元素的值
• 2階子式的值：0,0,-2（選擇前兩行，第一列和其餘列的行列式值）；0,0,0（取一三行，第一列和其餘列的行列式值）；0,0,1（取二三行，第一列和其餘列的行列式值）
• 3階子式的值：0,0,0,0（隻有三行，任意取三列，共有四種取法，最後結果都是0）

那麼規定非零子式的最高階數稱作：矩陣的秩。比如剛剛的示例矩陣，其3階子式全為0，是以最高的非零子式隻有2階，故矩陣的秩為2。

規定和性質：

• 零矩陣的秩為0，也就是r(0) = 0
• 若矩陣，則矩陣的秩取值範圍為：，若取所有的行，被稱為行滿秩矩陣；若即是取到了所有的列，被稱作為列滿秩矩陣；這兩種情況都是稱作滿秩，說明
• 若，說明矩陣是降秩矩陣
• 若A為方陣，

2 矩陣的秩的定理

定理1： （可以通過行列式的展開定理實作證明）

階梯型矩陣：

1）若有零行，零行在非零行的下面；

2）左起首非零元左邊零的個數随行數增加而嚴格增加

行簡化階梯型：

1）非零行的首非零元是1

2）首非零元所在列的其餘元素都是0

由此可以得出一個結論：矩陣的秩還可以用非零行的行數表示，非零行有幾行，那麼秩就為幾

定理2：初等變換不改變矩陣的秩。一般使用初等行變換化為階梯型

3 有關秩的性質

• 矩陣乘以可逆矩陣，秩不變
• ，是m階可逆方陣，是n階可逆方陣，這裡使用大白話說就是：矩陣左乘可逆矩陣、右乘可逆矩陣、左右乘可逆矩陣，矩陣的秩不變