sin的導數為cos的幾何和公式證明

幾何證明:

AC切圓O于C

AO交圓O于B

CD、OF為水準線

BF為垂直線

令∠EOF = θ 求證sinθ的導數為cosθ

證:

設∠AOC的角度為x,

由弦切角定理可知∠ACB = 12 x

而且∠ECD=θ

則∠BCD = 90°-θ- 12 x

于是

limx→0sin(90°−θ−12x)=cosθ

意思就是 當x無限接近于0時 sin(θ+x)-sinθ的差無限接近于cosθ

公式證明:

limx→0sin(θ+x)−sinθx

=limx→0sinθcosx+cosθsinx−sinθx

=limx→0cosθsinxx

因為 limx→0sinxx=1

是以結果為 cosx

為什麼

limx→0sinxx=1?

當x無限接近于0, sinxx = 對邊/半徑弧長/半徑 = 對邊/弧長，無限接近于1