在動筆之前，筆者百度了一下OFDM的定義。在百度百科中，找到了如下描述：
“OFDM(Orthogonal Frequency Division Multiplexing)即正交頻分複用技術，其主要思想是：将信道分成若幹正交子信道，将高速資料信号轉換成并行的低速子資料流，調制到在每個子信道上進行傳輸。正交信号可以通過在接收端采用相關技術來分開，這樣可以減少子信道之間的互相幹擾 ICI 。每個子信道上的信号帶寬小于信道的相關帶寬，是以每個子信道上的可以看成平坦性衰落，進而可以消除符号間幹擾。而且由于每個子信道的帶寬僅僅是原信道帶寬的一小部分，信道均衡變得相對容易。”
嗯，這個定義寫的很全面，這麼好的材料，不放到畢設論文的背景介紹中，實在是太可惜了。其實OFDM的原理就是這樣，樓主的講解就到此結束吧，謝謝大家~
哎喲，哪裡丢來的臭雞蛋？還有闆磚！*&%……%￥#@@！…
呵呵，跟大家開個玩笑。其實讀了上面的描述後，我們一定還有很多的疑問：什麼叫“正交子信道”？怎麼做才能“把高速資料信号轉換成并行的低速子資料流”？為什麼“子信道上的信号帶寬小于信道的相關帶寬時，可以消除符号間幹擾”？而“相關帶寬”、“符号間幹擾”又是什麼呢？
在接下來的幾篇文章中，我們就來一起探究這些問題。今天，我們先做個“熱身”。既然OFDM可以消除符号間幹擾（ISI，Inter-Symbol Interference），我們就來看看什麼是符号間幹擾。
想象下面的場景：一個男孩和一個女孩隔山相望。男孩要向女孩表白，喊出那攝人心魄的三個字。在他們遠處，有另一座大山，能夠将他們的喊話形成回聲。就是說，男孩喊出的話，會經過兩條路徑傳到女孩的耳朵裡，一個原聲，一個回聲。當女孩聽到男孩喊出的“我”字的時候，“我”字的回音還在路上。然而下一時刻，當“愛”字的原音到達女孩那裡時，“我”字的回音恰好也到了。兩個聲音同時到達，混在了一起。我們假設“我”和“愛”兩個音混在一起會形成“讨”字的音（這個假設實在是太壞了）。是以這一時刻，女孩聽到的是“讨”字。同樣，再下一時刻，女孩會聽到“你”字的原音和“愛”字的回音混疊在一起的聲音，假設這次她聽到的是“厭”字。最後，女孩聽到 了“你”字的回音，轉身就走了。
圖1 “回音”的例子
好好的一句“我愛你”卻因為回聲的存在，被活活“翻譯”成了“我讨厭你”，讓相愛變成了分手。在現實無線通信中，“符号間幹擾”就扮演着“回聲”的角色。在發送端和接收端之間，常常存在着不止一處的反射物，發出的信号經過這些物體的反射、折射，會經過不同的路徑到達接收端，也就是我們常說的“多徑傳播”。路徑不同，傳播的距離自然不同，信号到達接收端的時間也就不盡相同。如果這一時刻發出的符号因為多徑，延遲到了下一時刻才到達，就會與下一時刻的符号發生混疊，造成符号無法正确解出，這就是“符号間幹擾”，也叫“碼間串擾”。
通過上面簡單的例子，我們已經感性的了解了“回聲”幹擾“原聲”的成因。而且也能直覺的感覺到，要想避免兩個聲音的幹擾，男孩隻要放慢喊話的速度就好了，等一個字的所有回聲都傳遞到了女孩耳朵裡，再喊出第二個。這樣一來，女孩聽到的就是“我，我…，愛，愛…，你，你…”，無非是多聽了幾個重複的字而已，不會因為出現字和字之間的幹擾而造成誤會。但是，我們回看百科中OFDM的定義，卻發現它是這麼寫的：“當信号帶寬小于信道的相關帶寬時，可以消除符号間幹擾”。我們已經找到了從時間上避免符号間幹擾的方法，那麼，它和“信号帶寬”，“相關帶寬”之間又是什麼關系呢？
不要忘了帶寬的機關是赫茲（Hz），而赫茲代表的數學含義是秒分之一（1/s）,就是一秒鐘發生的次數。是以當我們說一個信号的帶寬是10Hz，從離散域來看，可以了解為每秒有10個采樣點，換句話說，每隔0.1秒，就會到來一個采樣符号。現在我們把帶寬的意義轉換到時間域，再來解釋碼間串擾發生的條件，就好了解許多。既然每隔0.1秒就會到來一個符号，那麼如果多徑造成的最大時延小于這0.1秒，自然不會對下一個符号形成幹擾；但如果多徑時延大于了0.1秒，就會引起碼間串擾。碼間串擾發生的條件，就和多徑時延對應上了。而這0.1秒，就是碼間串擾發生的臨界條件。
圖2 “碼間串擾”的形成條件
我們不妨假設時延恰好在符号發出0.1秒後到達，這樣，時延發生的頻率，也是10Hz，而“時延的頻率（準确的說是最大時延的頻率）”就是“相關帶寬”。顯而易見，當“相關帶寬”等于“信号帶寬”時，恰好會發生碼間串擾。如果時延很短，比如0.01秒後就到達，對應的“相關帶寬”是100Hz，大于“信号帶寬”，碼間串擾就不會發生；如果時延很長，在符号發出後0.2秒才到達，“相關帶寬”是5Hz，小于“信号帶寬”，碼間串擾将不可避免。
圖3 具有多徑時延的傳播環境
有了這些基本概念，我們重新考慮一下之前找到的從時域上規避碼間串擾的方法。依然假設信号的帶寬是10Hz，這次假設有兩個反射體，分别将信号延時0.1秒和0.2秒。我們可以設計這樣的發送政策，即每隔0.2秒才發出一個新符号，這樣，前一個符号就不會對下一個符号造成幹擾了。而且，每發出一個符号，我們可以在之後的0.1秒和0.2秒分别收到該符号的兩個副本，這不就相當于利用多徑做了一次“純天然”的分集麼？在“猶抱琵琶半遮面--MIMO信道中隐藏的秘密”中，我們提到過，如何充分利用各種資源，實作“變廢為寶”，實乃一大學問。在這裡，原本讨厭的多徑又一次幫了我們的忙，“免費的”對發送符号進行了分集處理（注，多徑帶來的分集，從本質上講，是一種“頻率分集”）。但是别忘了，天下沒有白吃的午餐，我們來仔細盤算一下享受免費“多徑分集”的背後，付出的代價是什麼。
圖4 頻率分集
為了躲避碼間串擾，并且獲得多徑分集，我們每隔0.2秒（即每0.3秒）才發出一個符号，這不就相當于把原信号的帶寬從10Hz降到了約3.33Hz（1/0.3）麼。而相關帶寬是5Hz（1/0.2），哦，原來這種發送政策的實質是人為的讓信号帶寬小于相關帶寬，來避免碼間串擾的發生啊。這麼做雖然能獲得一些分集增益，但原來每秒能傳10個符号，現在隻能傳不到4個，犧牲了太多的系統速率，實在有些不劃算。
圖5 躲避“碼間串擾”的代價
看來，要想在充分利用資源的條件下，還獲得分集增益，碼間串擾是想躲也躲不掉了。我們隻有一條路可以走，那就是“幹掉”碼間串擾！下一回，我們就來看OFDM是怎麼消除碼間串擾的。
書接上回。上一篇我們說到了“碼間串擾”，還留下了一個問題，那就是如何在不降低信号帶寬的情況下，克服碼間串擾的影響，順便再獲得點“頻率分集”增益呢？今天我們就來聊聊這些話題。
圖1多徑傳播環境
來看圖1描述的傳播環境，假設從發送方到接收方一共有三條傳播路徑，信道增益分别為h1，h2和h3。其中路徑2和3分别會對信号延時1個和2個時刻。即，在第一時刻，接收方會收到經過直視徑到達的信号X1（不考慮噪聲） ：
Y1 = h1 × X1；
第二時刻，接收方收到來自直視徑的X2和經反射徑1延時到達的X1：
Y2 = h1 × X2 + h2 × X1；
可以看到，碼間串擾已經發生。同理，在第三時刻，接收方收到的信号是
Y3 = h1 × X3 + h2 × X2 + h3 ×X1；
以此類推。熟悉“信号系統”的朋友一眼就看出來了，這其實就是輸入序列X=[X1，X2，X3…]與信道響應h=【h1 h2 h3 】做了一個卷積，Y = h * X。是以卷積是描述多徑傳播最漂亮的數學表達。但是卷積的表達式仍然太繁瑣，我們不妨來做一個轉換。
我們把上面描述的傳播環境想象成一個3發1收的MISO系統，那麼，上述3條多徑信道響應【h1 h2 h3 】就可以看成從3根發送天線分别到接收天線間的直視信道響應，如圖2所示。我們設計以下的發送政策：第一時刻，從天線1發送符号X1，這時，接收端收到的就是：
Y1 = h1 × X1；
第二時刻，從天線2發送X1，從天線1發送X2，接收信号是：
Y2 = h1 × X2 + h2 × X1；
第三時刻，從天線3發送X1，天線2發送X2，天線1發送X3，我們有：
Y3 = h1 × X3 + h2 × X2 + h3 ×X1；
以此類推。很明顯，這與卷積的表達式一模一樣。現在我們把具有碼間串擾的多徑傳播環境轉換成了熟悉的多天線MISO系統，形式上比較好了解，更重要的是，我們可以使用多天線的技術來處理碼間串擾了。
圖2将多徑傳播轉換成MISO系統
在着手“幹掉”碼間串擾之前，我們先來看一個有趣的例子，幫助我們直覺的了解消除碼間串擾時，所采用的思想。
正月十五，筆者和爸爸媽媽去看燈展。這次燈展，有三盞最漂亮的大花燈并排放在最顯眼的展台上。筆者很想去展台上和三盞燈合影，但參觀的人實在是太多了，管理者不得不做出以下規定：所有人排成一排，按順序從入口上展台，每盞燈前面隻能站一人，照完相後，從出口依次離開，每出去一人，就進來一人。
于是，筆者就去排隊了，爸爸媽媽在台下給筆者照相。當某一時刻，筆者走上展台，站在第一盞燈前的時候，其他燈前的遊客還沒有離開，筆者和三盞燈的合影就有了别人在旁邊“搶鏡”。同樣，在後面兩個時刻，有人出就有人進，筆者始終無法單獨和三盞燈來一次完美的合影，甚是郁悶。
圖3 筆者受到其他人幹擾，無法和三盞燈合影
當然，這點小事難不倒筆者，我想，既然沒有辦法單獨和三盞燈合影，那麼與其身邊站着其他人，不如和自己人一起照。于是筆者把相機交給好心人，拉着爸爸媽媽一起去排隊了。這一次，雖然剛上展台的時候，有遊客幹擾，但是總有一個時刻，展台上隻有筆者和爸爸媽媽三人，我們開開心心的來了一張合影。
此時筆者玩心大發，一張合影還不滿足，筆者想分别站在三盞燈下，和爸爸媽媽來三張合影。于是筆者拉着爸爸媽媽又一次去排隊了。這次，當筆者站在第3盞燈下和爸爸媽媽完成第一張合影後，迅速從出口跑出，繞回入口，緊跟着媽媽再次登上展台（可愛的管理者也不忍心阻止筆者的行動），這樣，筆者就在第一盞燈下，又來了一張合影；緊接着，筆者的爸爸也迅速繞回入口，跟在筆者後面再次上了展台，就這樣，我們完成了分别在三盞燈下合影三次的願望。
圖4 筆者和父母完成了合影的願望
看完上面的例子，大家是不是已經被筆者“繞”暈了？呵呵，沒關系，我們隻要知道筆者是如何“擠”掉其他人，讓台上隻有我們三人，并且如何通過“循環”入場，獲得三次合影機會的，就可以了。因為無線通信中，“幹掉”碼間串擾，用的也是這兩招：
（1）把連續多個符号看成一組，一起進行處理，“擠”開碼間串擾。這樣碼間串擾就隻會發生在開頭和最後的幾個符号上，中間的都是“自己人”，不受影響。
（2）通過在這一組符号的開頭或最後設定“循環字首”，幹掉碼間串擾。
我們把這兩招用數學語言，重新進行描述。仍然考慮開篇的傳播環境，這次我們把X1，X2，X3看成一組，并在前面加上“循環字首”X2，X3，形成【X2，X3，X1，X2，X3 】。然後與信道響應【h1 h2 h3】進行卷積，過程如下：
圖5 卷積過程和“燈盞”例子的類比
圖6 卷積過程的矩陣表達
我們一共能得到7個時刻的方程，但最後兩個說的是本組符号對下一組符号造成的幹擾，那就留給下一組符号去解決吧。我們隻看前5個時刻。很明顯，碼間串擾發生在前兩個時刻Y1，Y2（信道矩陣中0元素的位置就是幹擾符号出現的位置，因為我們沒有把幹擾符号寫進方程，是以該位置是0）。沒關系，受到幹擾的符号我們删掉，不要了。剩下三個時刻的方程，我們仔細一看，這不就是一個3發3收的MIMO傳輸方程麼？我們曾經把多徑傳播環境轉換成了MISO系統，現在又轉換成了MIMO系統！
圖7 得到3x3 MIMO系統的過程
說到MIMO系統，我們太熟悉了，至少，我們也花了三大篇文章詳細的解釋過了。還記得“知己知彼，百戰不殆--信道資訊的擷取和應用”中我們介紹的内容麼？MIMO系統的最佳傳輸矩陣是什麼？沒錯，是對角陣。怎樣才能獲得對角陣呢？對信道矩陣H進行SVD分解，得到H=U·S·V，其中S就是對角矩陣；接下來，就是用V的共轭轉置V*對發送信号進行“預編碼”，接收端在收到資料後，同樣乘以U*，這樣一來，發送的符号就像進入了獨立平行的正交子信道，互不幹擾。（對這部分内容不熟悉的朋友可以在本論壇内找到“知己知彼，百戰不殆--信道資訊的擷取和應用”。）
圖8 MIMO雜談三中提到的預編碼過程
現在我們拿到了一個等效的3x3 MIMO傳輸系統，當然也可以按照上述過程來處理它。于是，我們對信道矩陣H進行SVD分解----此時此刻，本文最大的懸念就要揭曉了----注意矩陣H的特殊結構，因為我們對發送資料添加了循環字首，是以H的每一行就有一個“循環位移”，擁有這種“循環位移”結構的矩陣叫做“循環矩陣（Circulant Matrix）”。循環矩陣的一個重要特性就是：對它進行SVD分解後，得到的左酉陣U是“逆傅裡葉變換矩陣”（我們用W-1來表示，即U = W-1）；而右酉陣V是“傅裡葉變換矩陣”（V = W，注：一組資料乘以“傅裡葉變換矩陣”，就相當于對該組資料進行了傅裡葉變換，并且有W-1W= WW-1=I）！
圖9 循環矩陣的SVD分解
這就是說，如果我們對一組資料先進行 “逆傅裡葉變換”，添加“循環字首”，再送入多徑信道；接收端删除掉受幹擾的“循環字首”後，做一個“傅裡葉變換”，得到的資料就好像經過了獨立平行的正交子信道，彼此之間不受任何幹擾。而整個這一套處理流程，不正是“OFDM”麼？呵呵，我們一整篇文章好像都在說MIMO，直到最後時刻才讓OFDM出場，OFDM同學一定等急了吧？
我們來梳理一下OFDM的處理流程：首先，對一組發送符号進行“逆傅裡葉變換”--相當于MIMO系統中的“預編碼”；然後，添加“循環字首”--為的是讓傳輸矩陣H變成“循環矩陣”，最後送入多徑信道；接收端舍棄受到幹擾的“循環字首”--碼間串擾就這樣被幹掉了；再做一個“傅裡葉變換”--相當于MIMO中對接收信号乘以U*；得到的符号就像經過了互不幹擾的正交子信道。
圖10 OFDM和MIMO的對比
通過這樣的類比，我們猛然發現，“原來OFDM其實也是MIMO啊”。兩者的差別在于：MIMO中，對信道H進行SVD分解，需要知道H具體内容；而在OFDM中，預編碼矩陣（即“逆傅裡葉變換矩陣”）不依賴于H。筆者本來想把這句話寫在文章的開頭，害怕被拍磚，最後決定還是放在後面吧。不過讀到這裡，相信大家也跟筆者有了同樣的感受了吧？至少，我們從另一個角度诠釋了OFDM的意義。
順便一提，在“燈展”的例子中，筆者實作了在三盞燈下分别合影的願望，而在OFDM系統中，每個發送符号都和h1 h2 h3相乘過，就是說，我們還獲得了一定的“頻率分集增益”哦。
既然OFDM 與MIMO有如此深的淵源，而且本回中，并未介紹OFDM相關參數的含義，比如OFDM符号長度，子載波間距等。下一回，我們就來看看OFDM與MIMO聯合使用時，會有什麼效果？如果我們要設計一個OFDM系統，它的參數應該怎麼選取呢？
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閑話：OFDM是“多載波”技術的一種，在單載波系統中，如果要消除碼間串擾，就要用到著名的“維特比算法”。關于算法的具體步驟，本文不再贅述。在計算機和網際網路領域，維特比算法有着更廣泛的應用，比如“語音識别”，“中文輸入法”等。對網際網路技術感興趣的朋友也可以閱讀吳軍老師的“數學之美”。