一、四個坐标系簡介和轉換
相機模型為以後一切标定算法的關鍵，隻有這邊有相當透徹的了解，對以後的标定算法才能有更好的了解。本人研究了好長時間，幾乎每天都重複看幾遍，最終才會明白其推導過程。
我覺得首先我們要了解相機模型中的四個平面坐标系的關系：像素平面坐标系（u,v）、像平面坐标系（圖像實體坐标第（x,y）、相機坐标系（Xc,Yc,Zc）和世界坐标系（Xw,Yw,Zw），在每一篇介紹相機模型的文章中都有介紹。
我剛開始了解時，看着那一堆的公式十分的頭暈，我相信很多初學者和我一樣，但仔細想想，隻不過是，我們假設了一些參數，使四個坐标系之間的坐标聯系起來，這樣我們就可以從拍攝的圖檔上一個點坐标一路反推出世界中的那個點的坐标，這樣就達到了我們的目的，三維重建。而那些我們假設的參數，就是我們要标定的内外參數。
1、像素坐标與像平面坐标系之間的關系
确定他們的關系之前，我們可以假設每一個像素在u軸和v軸方向上的實體尺寸為dx和dy。仔細看下他們的模型可以推出以下公式（這個還是比較好了解的）：
解釋：1、dx,dy,u0,v0其實都是我們假設出來的參數，dxdy表示感光晶片上像素的實際大小，是連接配接像素坐标系和真實尺寸坐标系的，u0,v0是圖像平面中心，最終是要我們求的内外參數。
得出這個公式後我們可以運用線性代數的知識把方程用矩陣形式表示：
當然我們也可以用另一種矩陣形式表示：
2、相機坐标系與世界坐标系之間的關系
這兩個坐标系之間的關系我們可以旋轉矩陣R和平移矩陣T來得到以下關系：
公式4
解釋：1、 在這個公式中，R為3*3矩陣，T為3*1，0為（0，0，0），簡化用Lw表示後為4*4矩陣。
3、成像投影關系（相機坐标系與像平面坐标系）
在相機模型中我們可以得到以下公式：
公式5
解釋：1、
同樣我們用矩陣形式表示：
公式6
4、得到公式
而我們可以将以上公式綜合一下就可以得到：
是以，内參數矩陣可以表示為：
=
外參矩陣可以表示為：
，由旋轉矩陣R和平移向量T組成
當然在好多資料上都有這種做法：
上圖中表示的情況是像素坐标系和圖像實體坐标系的兩個坐标軸不是平行的關系，像素坐标系的兩個坐标軸也不是垂直90°的關系，而圖像實體坐标系的兩個坐标軸是垂直關系。是以，我們在轉換兩個坐标軸的坐标之間的關系時就必須考慮像素坐标系兩個坐标軸之間的夾角了。就有了上面的不同的内參矩陣，了解了就好了。
二、圖像坐标：我想和世界坐标談談(B)
玉米将在這篇博文中，對圖像坐标與世界坐标的這場對話中涉及的第二個問題：談話方式，進行總結。世界坐标是怎樣變換進錄影機，投影成圖像坐标的呢？
玉米做了一個簡單的圖示，在這裡做一個提綱。圖中顯示，世界坐标系通過剛體變換到達錄影機坐标系，然後錄影機坐标系通過透視投影變換到達圖像坐标系。可以看出，世界坐标與圖像坐标的關系建立在剛體變換和透視投影變換的基礎上。為了獎勵剛體變和透視投影變換溝通了“世界上最遠的距離”，玉米在圖上獎勵了他們兩朵小紅花。哈哈
首先，讓我們來看一下剛體變換是如何将世界坐标系與圖像坐标系聯系起來的吧。這裡，先對剛體變換做一個介紹：
剛體變換(regidbody motion):三維空間中， 當物體不發生形變時，對一個幾何物體作旋轉， 平移的運動，稱之為剛體變換。
因為世界坐标系和錄影機坐标都是右手坐标系，是以其不會發生形變。我們想把世界坐标系下的坐标轉換到錄影機坐标下的坐标，如下圖所示，可以通過剛體變換的方式。空間中一個坐标系，總可以通過剛體變換轉換到另外一個個坐标系的。轉一轉，走一走，就到另外一個坐标系下了。以前可能是面朝大海，經過平移旋轉，最終可能隻能面朝冰山了，哈哈
下面讓我來看一下，二者之間剛體變化的數學表達。
其中，XC代表錄影機坐标系，X代表世界坐标系。R代表旋轉，T代表平移。R、T與錄影機無關，是以稱這兩個參數為錄影機的外參數(extrinsic parameter)可以了解為兩個坐标原點之間的距離，因其受x,y,z三個方向上的分量共同控制，是以其具有三個自由度。
R則為分别繞XYZ三軸旋轉的效果之和。如下面所示：
R=r1*r2*r3.其由三個方向的θ控制，故具有三個自由度。
好了，剛體變換就講完了。大家應該都了解，世界坐标系到錄影機坐标系之間的轉換過程了吧。
接下來，讓我們看看錄影機坐标下的坐标如何投影到圖像坐标系下，最終變為照片中的一個像素。這其中包含兩個過程：一是從錄影機坐标到“空間圖像坐标”（x,y）所發生的透視投影；二是從“連續圖像坐标”到“離散圖像坐标”(u,v)。後者我們已經在第一篇博文中解釋過。是以在這裡，主要介紹一下透視投影。
透視投影(perspective projection): 用中心投影法将形體投射到投影面上，進而獲得的一種較為接近視覺效果的單面投影圖。有一點像皮影戲。它符合人們心理習慣，即離視點近的物體大，離視點遠的物體小，不平行于成像平面的平行線會相交于消隐點(vanish point)。
啰嗦這麼多，其實大家看看示意圖，看看公式，秒懂。
以圖中B(XB,YB)點為例，在小孔成像錄影機模型下（幾何分析的最常用模型）。這裡的f為錄影機的焦距，其屬于錄影機的内參數(intrinsic parameter)。其在成像平面上的投影點b(xb,yb)的坐标利用簡單的相似三角形比例關系很容易求出：
上面兩式也闡明了錄影機坐标與圖像坐标之間的透視投影關系。
好吧，現在玉米已經把圖像坐标與世界坐标之間的這場對話所需經曆的三個波折的過程加以了解釋。即：剛體變換、透視投影、(x,y)換(u,v)（ps.這個在上一篇博文中講過）。接下來玉米用一張圖把三個過程連接配接起來。實作從世界坐标(X,Y,Z)到(u,v)之間的轉換。讓圖像坐标與世界坐标直接對話。
下圖中的轉換關系，都是用齊次坐标表達的，大家會發現這樣的表達非常整潔。
其實這張圖顯示的過程還有一個名字：錄影機模型(camera model)。其實也就是錄影機的幾何模型了。
将三者相乘，可以把這三個過程和在一起，寫成一個矩陣：
P就是世界坐标到圖像坐标的直接聯系人，P就表示了一個投影相機，有下面公式：
注意在表示齊次坐标時，需要在符号上面加個小帽子。除去齊次坐标控制位P23，P具有11個自由度。
錄影機模型及其中涉及的坐标系等，是弄清3D重建幾何架構的基礎。可以把它們視為基本運算關系。後面對于三維重建幾何架構的推導，都是要用到三個基本坐标系和錄影機模型的。