線性系統總能被分解成零輸入響應和零狀态響應。通常我們分開來研究這兩種響應的穩定性。
對于零狀态響應（zero state），我們有BIBO(bounded-input bounded-output)穩定。
對于零輸入響應（zero input），我們有邊緣穩定(marginal)和近似穩定(asymptotic)。
BIBO穩定
一個SISO LTI 因果系統可被表示為：（初始狀态
下relaxed）
（1）
其中
為脈沖響應。
BIBO穩定： 對于零狀态響應，所有有界輸入都會變成有界輸出。
定理一：
一個SISO系統被描述為BIBO穩定，當且僅當
在【線性系統】五、穩定性 為絕對可積的，或者：【線性系統】五、穩定性 【線性系統】五、穩定性 定理二：
如果系統響應
是BIBO穩定的，那麼當【線性系統】五、穩定性 【線性系統】五、穩定性 :
1. 輸入為
産生的輸出，對所有【線性系統】五、穩定性 接近【線性系統】五、穩定性 【線性系統】五、穩定性 ;
2.輸入為
産生的輸出，對所有的【線性系統】五、穩定性 接近【線性系統】五、穩定性 【線性系統】五、穩定性 ，
其中
是【線性系統】五、穩定性 的拉普拉斯變換，【線性系統】五、穩定性 【線性系統】五、穩定性 。
定理三：
一個有有理轉移函數
SISO系統是BIBO 穩定當且僅當【線性系統】五、穩定性 的每個極點有負實部或者在左半【線性系統】五、穩定性 平面。【線性系統】五、穩定性
例一：
一個正回報系統的脈沖響應為
，【線性系統】五、穩定性 可以為正或負。我們有：【線性系統】五、穩定性 且【線性系統】五、穩定性 【線性系統】五、穩定性
推廣：
- 多變量系統；
定理一：每個脈沖響應在
都絕對可積.
定理三：
的每個極點有負實部或者在左半
平面。
例二：
有狀态方程：
，【線性系統】五、穩定性 轉移函數：【線性系統】五、穩定性 是以它是BIBO穩定。【線性系統】五、穩定性
- 離散系統：
一個SISO系統被描述為：
定理一：一個離散系統當且僅當在【線性系統】五、穩定性 絕對可加或者存在常數【線性系統】五、穩定性 使【線性系統】五、穩定性 【線性系統】五、穩定性 成立。
定理二：如果脈沖響應序列
是BIBO穩定的，那麼當【線性系統】五、穩定性 【線性系統】五、穩定性 :
1. 輸入為
産生的輸出，對所有【線性系統】五、穩定性 接近【線性系統】五、穩定性 【線性系統】五、穩定性 ;
2.輸入為
産生的輸出，對所有的【線性系統】五、穩定性 接近【線性系統】五、穩定性 【線性系統】五、穩定性 ，
這裡
是【線性系統】五、穩定性 的z變換，【線性系統】五、穩定性 定理三：具有有理轉系函數【線性系統】五、穩定性 的離散SISO系統，當且僅當【線性系統】五、穩定性 的每個極點的大小都小于1時BIBO穩定。【線性系統】五、穩定性
例三：
離散LTI系統，
，and【線性系統】五、穩定性 ,【線性系統】五、穩定性 是以這個系統不是BIBO的。【線性系統】五、穩定性
- MIMO離散系統
定理一：脈沖響應序列的絕對可加性；
定理三：脈沖響應序列的極點大小小于1。
零輸入響應的穩定性
零輸入系統
，初始狀态為
。
等式的解為
。
定義：一個零輸入系統或像的等式邊緣穩定，如果每個有限初始狀态【線性系統】五、穩定性 激勵出一個有界的響應。一個零輸入系統近似穩定如果每個有限初始狀态激勵出有界響應，并且響應在【線性系統】五、穩定性 時接近于0。【線性系統】五、穩定性
定理：
1. 等式
邊緣穩定當且僅當【線性系統】五、穩定性 【線性系統】五、穩定性 的所有特征值有零或負實部，且特征值為A的最小多項式的簡單根；
2. 等式
近似穩定當且僅當【線性系統】五、穩定性 的所有特征值都有負實部，且特征值為A的最小多項式的簡單根。【線性系統】五、穩定性
推廣到離散系統的定理：
1. 等式
邊緣穩定當且僅當【線性系統】五、穩定性 【線性系統】五、穩定性 的所有特征值的幅值小于或等于1，且特征值為A的最小多項式的簡單根；
2. 等式
近似穩定當且僅當【線性系統】五、穩定性 的所有特征值的幅值小于1，且特征值為A的最小多項式的簡單根。【線性系統】五、穩定性
李雅普諾夫理論