有關“重要極限”的經典例題

 一、兩個極限存在準則、兩個重要極限

1、極限存在準則

夾逼定理（數列和函數極限都适用）、單調有界數列必收斂

對于第二條定理，當運用于函數時需要滿足：趨近于無窮時，函數連續且處處有定義

例如：

若f(x)從某一X開始，當x>X時，在區間(x,+∞)滿足f(x)連續且單調有界，則

存在。

注意哦，在某一區間連續的話那在該區間可一定是有定義的。

（-∞,X）的情況同理。

可以進一步思考，函數f(x)在某一點的極限隻與該點領域内的函數值有關，與該點的函數值和離該點較遠的函數值無關。

2、兩個重要極限

需要說明的是，兩個重要極限是通過兩個極限存在準則推出來的。

二、經典的錯誤，标準的零分

求極限：

如果考慮到重要極限，求解過程如下：

這就是“經典的錯誤，标準的零分”

原因如下：在利用重要極限求解時，我們把右邊的乘積項看作一個整體運用重要極限求解，這就相當于把兩個乘積項分分開來單獨求極限。而極限的運算法則需要兩個乘積項的極限同時存在才可以說乘積的極限等于極限的乘積。注意在x趨近于∞時，

不存在！！！

這裡再插一嘴：在求解類似于arctan、幂指數趨近于無窮時的極限時，要注意分别讨論＋∞和－∞

如果有小夥伴說，那咱們讓x趨近于＋∞可以嗎？

答案是：也不行！

如果x趨近于正無窮，那麼乘積項的第二項極限不存在

同理，如果x趨近于負無窮，那麼乘積項的第一項極限不存在

是以，就算的單邊極限的情況下，求解這個極限也不可以使用重要極限。

三、經典的答案，标準的滿分

在求解有關幂指數函數的極限時，最為樸實無華的解法莫過于通過e取對數化為指數函數(<---yyds)

此題要點就是：兩個乘積項的極限不存在，在求解過程中始終把這兩個乘積項看作一個整體。

如果所求極限單單是一個可以用重要極限的整體因子，那麼必然可以放心大膽地去配重要極限。

如果所求極限像上面那道題一樣，可以配重要極限的隻是某一個局部乘積因子，那在使用重要極限的時候，就要三思而後行。

哦對了，還沒結束，再插一嘴，我們來說說通過e取對數化為指數函數的原理

定理：如果f(x)、g(x)極限存在，且滿足：

則有：

是以在遇到求解一個幂指數函數的極限時，化為底為常數e的指數函數，此時e對應于上式的f(x)，滿足大于0的條件，我們再隻需求對應g(x)部分的極限即可。