1 A題: 波浪能最大輸出功率設計
随着經濟和社會的發展，人類面臨能源需求和環境污染的雙重挑戰，發展可再生能源産業
已成為世界各國的共識。波浪能作為一種重要的海洋可再生能源，分布廣泛，儲量豐富，具有
可觀的應用前景。波浪能裝置的能量轉換效率是波浪能規模化利用的關鍵問題之一。
圖 1 為一種波浪能裝置示意圖，由浮子、振子、中軸以及能量輸出系統（PTO，包括彈簧
和阻尼器）構成，其中振子、中軸及 PTO 被密封在浮子内部；浮子由品質均勻分布的圓柱殼體
和圓錐殼體組成；兩殼體連接配接部分有一個隔層，作為安裝中軸的支撐面；振子是穿在中軸上的
圓柱體，通過 PTO 系統與中軸底座連接配接。在波浪的作用下，浮子運動并帶動振子運動（參見附
件 1 和附件 2），通過兩者的相對運動驅動阻尼器做功，并将所做的功作為能量輸出。考慮海
水是無粘及無旋的，浮子線上性周期微幅波作用下會受到波浪激勵力（矩）、附加慣性力（矩）、
興波阻尼力（矩）和靜水恢複力（矩）。在分析下面問題時，忽略中軸、底座、隔層及 PTO 的
品質和各種摩擦。
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請建立數學模型解決以下問題：
問題 1
如圖 1 所示，中軸底座固定于隔層的中心位置，彈簧和直線阻尼器一端固定在振
子上，一端固定在中軸底座上，振子沿中軸做往複運動。直線阻尼器的阻尼力與浮子和振子的
相對速度成正比，比例系數為直線阻尼器的阻尼系數。考慮浮子在波浪中隻做垂蕩運動（參見
附件 1），建立浮子與振子的運動模型。初始時刻浮子和振子平衡于靜水中，利用附件 3 和附
件 4 提供的參數值（其中波浪頻率取 1.4005 s−1，這裡及以下出現的頻率均指圓頻率，角度均
采用弧度制），分别對以下兩種情況計算浮子和振子在波浪激勵力 𝑓 cos 𝜔𝑡（𝑓 為波浪激勵力
振幅，𝜔 為波浪頻率）作用下前 40 個波浪周期内時間間隔為 0.2 s 的垂蕩位移和速度：(1) 直
線阻尼器的阻尼系數為 10000 N·s/m；(2) 直線阻尼器的阻尼系數與浮子和振子的相對速度的絕
對值的幂成正比，其中比例系數取 10000，幂指數取 0.5。将結果存放在 result1-1.xlsx 和
result1-2.xlsx 中。在論文中給出 10 s、20 s、40 s、60 s、100 s 時，浮子與振子的垂蕩位移和速
度。
問題 2
仍考慮浮子在波浪中隻做垂蕩運動，分别對以下兩種情況建立确定直線阻尼器的
最優阻尼系數的數學模型，使得 PTO 系統的平均輸出功率最大：(1) 阻尼系數為常量，阻尼系
數在區間 [0,100000] 内取值；(2) 阻尼系數與浮子和振子的相對速度的絕對值的幂成正比，比
例系數在區間 [0,100000] 内取值，幂指數在區間 [0,1] 内取值。利用附件 3 和附件 4 提供的
參數值（波浪頻率取 2.2143 s−1）分别計算兩種情況的最大輸出功率及相應的最優阻尼系數。
問題 3
如圖 2 所示，中軸底座固定于隔層的中心位置，中軸架通過轉軸鉸接于中軸底座
中心，中軸繞轉軸轉動，PTO 系統連接配接振子和轉軸架，并處于中軸與轉軸所在的平面。除了直
線阻尼器，在轉軸上還安裝了旋轉阻尼器和扭轉彈簧，直線阻尼器和旋轉阻尼器共同做功輸出
能量。在波浪的作用下，浮子進行搖蕩運動，并通過轉軸及扭轉彈簧和旋轉阻尼器帶動中軸轉
動。振子随中軸轉動，同時沿中軸進行滑動。扭轉彈簧的扭矩與浮子和振子的相對角位移成正
比，比例系數為扭轉彈簧的剛度。旋轉阻尼器的扭矩與浮子和振子的相對角速度成正比，比例
系數為旋轉阻尼器的旋轉阻尼系數。考慮浮子隻做垂蕩和縱搖運動（參見附件 2），建立浮子
與振子的運動模型。初始時刻浮子和振子平衡于靜水中，利用附件 3 和附件 4 提供的參數值（波
浪頻率取 1.7152 s−1），假定直線阻尼器和旋轉阻尼器的阻尼系數均為常量，分别為 10000 N·s/m
和 1000 N·m·s，計算浮子與振子在波浪激勵力和波浪激勵力矩 𝑓 cos 𝜔𝑡，𝐿 cos 𝜔𝑡（𝑓 為波浪激
勵力振幅，𝐿 為波浪激勵力矩振幅，𝜔 為波浪頻率）作用下前 40 個波浪周期内時間間隔為 0.2
s 的垂蕩位移與速度和縱搖角位移與角速度。将結果存放在 result3.xlsx 中。在論文中給出 10 s、
20 s、40 s、60 s、100 s 時，浮子與振子的垂蕩位移與速度和縱搖角位移與角速度。
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問題 4
考慮浮子在波浪中隻做垂蕩和縱搖的情形，針對直線阻尼器和旋轉阻尼器的阻尼
系數均為常量的情況，建立确定直線阻尼器和旋轉阻尼器最優阻尼系數的數學模型，直線阻尼
器和旋轉阻尼器的阻尼系數均在區間 [0,100000] 内取值。利用附件 3 和附件 4 提供的參數值
（波浪頻率取 1.9806 s−1）計算最大輸出功率及相應的最優阻尼系數。
- 附件 1 垂蕩的動畫
- 附件 2 垂蕩和縱搖的動畫
-
附件 3 不同入射波浪頻率下的附加品質、附加轉動慣量、興波阻尼系數、波浪激勵力（矩）
振幅
- 附件 4 浮子和振子的實體參數和幾何參數值
- 附錄 術語
-
浮體在波浪的作用下做搖蕩運動時，會受到海水的作用，包括附加慣性力（矩）、興波阻
尼力（矩）和靜水恢複力（矩）。
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附加慣性力（矩） 推動浮體做搖蕩運動的力（矩）不僅要推動浮體運動，還要推動浮體
周圍的流體運動。是以，要使浮體在海水中獲得（角）加速度，需要施加額外的力（矩），稱
為附加慣性力（矩）。附加慣性力（矩）對應産生一個虛拟品質（虛拟轉動慣量），即為附加
品質（附加轉動慣量）。
-
興波阻尼力（矩） 浮體在海水中做搖蕩運動時，會興起波浪，進而産生對浮體搖蕩運動
的阻力（矩），稱為興波阻尼力（矩）。興波阻尼力（矩）與搖蕩運動的（角）速度成正比，
方向相反，比例系數稱為興波阻尼系數。
-
靜水恢複力 浮體在海水中做垂蕩運動時，會受到使浮體回到平衡位置的作用力，稱為靜
水恢複力。靜水恢複力實際上是由浮體在垂蕩運動時所受到的浮力變化引起的。
-
靜水恢複力矩 浮體在海水中做縱搖運動時，會受到使浮體轉正的力矩，稱為靜水恢複力
矩，其大小與浮體相對于靜水面的轉角成正比，比例系數稱為靜水恢複力矩系數。
2 解題思路
從整體上來看
A題 波浪能最大輸出功率設計
此題屬于傳統的實體類題目，需要過硬的專業技能和計算能力。需要模拟仿真的能力，此題建議相關專業同學選擇，由于所有名額都給的很明确，是以存在最優解（可能是一個範圍值）。建議在最後對對答案，答案的正确與否會對最終成績産生較大影響。推薦實體學、電氣工程、數學等相關專業選擇。難度較高，開放度較低。
B題 無人機遂行編隊飛行中的純方位無源定位
題型比較常見，在過去的數模競賽中，已經出現了很多次關于無人機的排程等問題，這次是關于定位的問題。問題的核心在于如何以更少的信号源（無人機發射信号），使得實作無人機的有效定位，建議使用仿真模拟的方式，逐一增加信号源，計算其定位。這道題目中，由于各個無人機是在持續運動的，是以應該設計一個預判優化模型，使得目标值最小。這道題目适合數學、統計學相關專業的同學選擇，難度适中，由于數值都已給定，是以開放度也較低，存在最優解（可能是一個範圍值）。建議在最後對對答案，答案的正确與否會對最終成績産生較大影響。