溫州皮鞋廠老闆上周就一直在問這個。正好昨天和今天早上有空，加上又在雨夜，就寫一波。
溫州皮鞋廠老闆的問題如下：
慢啟動: init_cwnd×2n=cwnd i n i t _ c w n d × 2 n = c w n d
增長速率為 2n 2 n 求導= n×2n−1 n × 2 n − 1 . pacing_gain應該等于類似這個東西來算吧
怎麼就 2ln2 2 l n 2 了
其實一開始我也不知道，根本就沒有注意過這個問題，能找到的資料也就是tcp_bbr.c中關于bbr_high_gain的注釋：
/* We use a high_gain value of 2/ln(2) because it's the smallest pacing gain
* that will allow a smoothly increasing pacing rate that will double each RTT
* and send the same number of packets per RTT that an un-paced, slow-starting
* Reno or CUBIC flow would:
*/
static const int bbr_high_gain = BBR_UNIT * / + ;
另外，BBR的paper：
https://queue.acm.org/detail.cfm?id=3022184
這裡面也能找到一段論述：
To handle Internet link bandwidths spanning 12 orders of magnitude, Startup implements a binary search for BtlBw by using a gain of 2/ln2 to double the sending rate while delivery rate is increasing. This discovers BtlBw in log2BDP RTTs but creates up to 2BDP excess queue in the process.
除此之外，就再也找不到别的資料了。我自己也很好奇，也跟很多人進行了讨論，甚至包括BBR的作者之一Neal Cardwell，最終以我自己的了解，整理出了這篇文章，希望能幫同樣有此疑問的人解惑。
在Startup階段，BBR的bbr_high_gain同時作用于 PacingRate P a c i n g R a t e 和 Cwnd C w n d 兩者，兩者遵循同樣的演化規律，即随着 RTT R T T 輪數而指數級遞增：
PacingRate=f1(rounds)=R0×2rounds P a c i n g R a t e = f 1 ( r o u n d s ) = R 0 × 2 r o u n d s
Cwnd=f2(rounds)=init_cwnd×2rounds C w n d = f 2 ( r o u n d s ) = i n i t _ c w n d × 2 r o u n d s
是以，在推導bbr_high_gain時，可以沿着兩條路分别進行，我們先沿着 PacingRate P a c i n g R a t e 積分到 Cwnd C w n d 這條路推導出 Cwnd C w n d 視角的bbr_high_gain，然後再通過 Cwnd C w n d 求導到 PacingRate P a c i n g R a t e 這條路來驗算。
假設在第 n n 個RTTRTT時其 PacingRate P a c i n g R a t e 是 R0×2n R 0 × 2 n ，那麼在下一個 RTT R T T ，即 n+1 n + 1 個 RTT R T T 時，它的 PacingRate P a c i n g R a t e 就會變成 R0×2n+1 R 0 × 2 n + 1 ，多了 2n 2 n 個 R0 R 0 ，在Startup階段， Cwnd C w n d 也遵循同樣的演化規律。
為了推導簡單，我們将設 R0 R 0 ， InitCwnd I n i t C w n d ， RTT R T T 均為 1 1 來歸一化，同時用自變量xx表示以一個 RTT R T T 為機關的輪數，上面的式子可以寫成：
PacingRate=f1(x)=2x P a c i n g R a t e = f 1 ( x ) = 2 x
Cwnd=f2(x)=2x C w n d = f 2 ( x ) = 2 x
而我們知道， BDP B D P 是 PacingRate P a c i n g R a t e 在時間上的積分(忽略常數C)。根據我們的假設，我們是按 RTT R T T 輪數來計數的，是以一個 RTT R T T 機關内的 BDP B D P 就是一個關于 PacingRate P a c i n g R a t e 的定積分：
按照牛頓-萊布尼茲定理則有：
BDPlastrtt=F(x)|xx−1=∫xx−12xdx=2x2ln2 B D P l a s t r t t = F ( x ) | x − 1 x = ∫ x − 1 x 2 x d x = 2 x 2 ln 2
抽掉 BDP B D P 中的時間次元，在數值上它的意義就是 Cwnd C w n d 。
設 G G 為增益系數，根據間隔一個RTTRTT時其 Cwnd C w n d 的關系，則有：
F(x)|xx−1=G×f2(x−2) F ( x ) | x − 1 x = G × f 2 ( x − 2 )
化簡可以得到：
2x2ln2=G×2x4 2 x 2 ln 2 = G × 2 x 4
是以，我們就得到了 G G ：
G=2ln2G=2ln2
接下來，我們來沿着從 Cwnd C w n d 到 PacingRate P a c i n g R a t e 這條路來再走一遍，看看求出的增益系數是不是同一個值。
我們知道，發送量的變化率其實就是發送速率，是以對 Cwnd C w n d 關于時間求導，就可以得到速率：
g(x)=f2′(x)=(2x)′=2xln2 g ( x ) = f 2 ′ ( x ) = ( 2 x ) ′ = 2 x ln 2
設 α α 為 PacingRate P a c i n g R a t e 的增益系數，則有：
g(x+1)=α×g(x)=α×2xln2 g ( x + 1 ) = α × g ( x ) = α × 2 x ln 2
經過 α α 演化的 PacingRate P a c i n g R a t e 恰好就是 f1(x+1) f 1 ( x + 1 ) 的數值：
f1(x+1)=α×g(x)=2x+1=α×2xln2 f 1 ( x + 1 ) = α × g ( x ) = 2 x + 1 = α × 2 x ln 2
是以，我們可以求出 α α 的數值：
α=2ln2 α = 2 ln 2
可以看出，這裡的 PacingRate P a c i n g R a t e 的增益和前面的 Cwnd C w n d 增益在數值上是完全一緻的，這也就是TCP BBR中的那個魔數 2ln2 2 ln 2 的由來。
如果你足夠細心，你會發現上面的推導中有一個破綻。比如，既然 f1(x)=f2(x) f 1 ( x ) = f 2 ( x ) ，而 g(x) g ( x ) 又由 f1(x) f 1 ( x ) 求導産生， g(x) g ( x ) 和 f2(x) f 2 ( x ) 均表示 PacingRate P a c i n g R a t e 時，顯然而然的是：
g(x)≠f2(x) g ( x ) ≠ f 2 ( x )
！！
其實，函數 f1 f 1 和 f2 f 2 之是以這麼寫是因為它們在離散的 RTT R T T 上表現得确實如此，但在實際中，速率計算， Cwnd C w n d 計算并非總是由平滑均勻的ACK事件來觸發的，是以說就必須用一條光滑的曲線來盡量拟合離散的點，是以，上面的 f1(x) f 1 ( x ) ， f2(x) f 2 ( x ) 本身就不是光滑曲線，它們和 g(x) g ( x ) 本身就不是同一條曲線。
實際上， f1(x) f 1 ( x ) 和 f2(x) f 2 ( x ) 表示的均是折線，所要做的正是用光滑的曲線去拟合折線上那些離散的轉折點，是以說，隻能用增益系數代入去解方程，而不是直接讓兩個函數相等。
f1 f 1 和 f2 f 2 的圖像類似下面這樣：
我們再把代表 BDP B D P 的平滑拟合曲線 F(x) F ( x ) 以及代表 PacingRate P a c i n g R a t e 的平滑拟合曲線 g(x) g ( x ) 畫到同一個坐标系中：
可以看得出，它們是3樣不同的曲線。
不過，看起來 F(x) F ( x ) 和 g(x) g ( x ) 對離散的 f1(x) f 1 ( x ) 和 f2(x) f 2 ( x ) 拟合得并不是很理想，那為什麼不直接用 f(x)=2x f ( x ) = 2 x 來拟合呢？它可是能完美拟合的吧：
或者，我們可以用二項式去拟合，用級數…
然而這些都不行。為什麼呢？因為要考慮到計算，這裡并不是在解一道數學題，而是要求出一個确定的常數作為增益系數 G G ，注意，是确定的常數。如果不通過積分或者求導的方式引入一個ln2ln2因子，單純的 f(x)=2x f ( x ) = 2 x 是無法得到一個确定的常數的。
這種方法，我們感到似曾相識，TCP的擁塞控制算法，從BIC到CUBIC就是采用了這種光滑的三次曲線拟合BIC二分折線的方法，其中的那些參數也可以用類似的方法求解。
除此之外，以上推導中，下面的關系是不存在的：
f1(x+1)=α×f1(x) f 1 ( x + 1 ) = α × f 1 ( x )
f2(x+1)=α×f2(x) f 2 ( x + 1 ) = α × f 2 ( x )
為什麼？因為 f1(x) f 1 ( x ) 和 f2(x) f 2 ( x ) 上的點是離散的，非連續函數在無定義的域上求值沒有意義。然而ACK的到達并非以RTT為機關準點的，更有可能遭遇ACK丢失，ACK聚集等無法預知的時間，是以ACK到達是任意的，是以就必須用光滑的曲線來拟合這些離散的點，進而達到比較平滑的增益效果。
簡單點說，增益系數 G G 的結果是針對光滑的拟合曲線而言的，即針對g(x)g(x)以及 F(x) F ( x ) 的，而不是針對 f1(x) f 1 ( x ) 和 f2(x) f 2 ( x ) 的。