温州皮鞋厂老板上周就一直在问这个。正好昨天和今天早上有空，加上又在雨夜，就写一波。
温州皮鞋厂老板的问题如下：
慢启动: init_cwnd×2n=cwnd i n i t _ c w n d × 2 n = c w n d
增长速率为 2n 2 n 求导= n×2n−1 n × 2 n − 1 . pacing_gain应该等于类似这个东西来算吧
怎么就 2ln2 2 l n 2 了
其实一开始我也不知道，根本就没有注意过这个问题，能找到的资料也就是tcp_bbr.c中关于bbr_high_gain的注释：
/* We use a high_gain value of 2/ln(2) because it's the smallest pacing gain
* that will allow a smoothly increasing pacing rate that will double each RTT
* and send the same number of packets per RTT that an un-paced, slow-starting
* Reno or CUBIC flow would:
*/
static const int bbr_high_gain = BBR_UNIT * / + ;
另外，BBR的paper：
https://queue.acm.org/detail.cfm?id=3022184
这里面也能找到一段论述：
To handle Internet link bandwidths spanning 12 orders of magnitude, Startup implements a binary search for BtlBw by using a gain of 2/ln2 to double the sending rate while delivery rate is increasing. This discovers BtlBw in log2BDP RTTs but creates up to 2BDP excess queue in the process.
除此之外，就再也找不到别的资料了。我自己也很好奇，也跟很多人进行了讨论，甚至包括BBR的作者之一Neal Cardwell，最终以我自己的理解，整理出了这篇文章，希望能帮同样有此疑问的人解惑。
在Startup阶段，BBR的bbr_high_gain同时作用于 PacingRate P a c i n g R a t e 和 Cwnd C w n d 两者，两者遵循同样的演化规律，即随着 RTT R T T 轮数而指数级递增：
PacingRate=f1(rounds)=R0×2rounds P a c i n g R a t e = f 1 ( r o u n d s ) = R 0 × 2 r o u n d s
Cwnd=f2(rounds)=init_cwnd×2rounds C w n d = f 2 ( r o u n d s ) = i n i t _ c w n d × 2 r o u n d s
因此，在推导bbr_high_gain时，可以沿着两条路分别进行，我们先沿着 PacingRate P a c i n g R a t e 积分到 Cwnd C w n d 这条路推导出 Cwnd C w n d 视角的bbr_high_gain，然后再通过 Cwnd C w n d 求导到 PacingRate P a c i n g R a t e 这条路来验算。
假设在第 n n 个RTTRTT时其 PacingRate P a c i n g R a t e 是 R0×2n R 0 × 2 n ，那么在下一个 RTT R T T ，即 n+1 n + 1 个 RTT R T T 时，它的 PacingRate P a c i n g R a t e 就会变成 R0×2n+1 R 0 × 2 n + 1 ，多了 2n 2 n 个 R0 R 0 ，在Startup阶段， Cwnd C w n d 也遵循同样的演化规律。
为了推导简单，我们将设 R0 R 0 ， InitCwnd I n i t C w n d ， RTT R T T 均为 1 1 来归一化，同时用自变量xx表示以一个 RTT R T T 为单位的轮数，上面的式子可以写成：
PacingRate=f1(x)=2x P a c i n g R a t e = f 1 ( x ) = 2 x
Cwnd=f2(x)=2x C w n d = f 2 ( x ) = 2 x
而我们知道， BDP B D P 是 PacingRate P a c i n g R a t e 在时间上的积分(忽略常数C)。根据我们的假设，我们是按 RTT R T T 轮数来计数的，所以一个 RTT R T T 单位内的 BDP B D P 就是一个关于 PacingRate P a c i n g R a t e 的定积分：
按照牛顿-莱布尼兹定理则有：
BDPlastrtt=F(x)|xx−1=∫xx−12xdx=2x2ln2 B D P l a s t r t t = F ( x ) | x − 1 x = ∫ x − 1 x 2 x d x = 2 x 2 ln 2
抽掉 BDP B D P 中的时间维度，在数值上它的意义就是 Cwnd C w n d 。
设 G G 为增益系数，根据间隔一个RTTRTT时其 Cwnd C w n d 的关系，则有：
F(x)|xx−1=G×f2(x−2) F ( x ) | x − 1 x = G × f 2 ( x − 2 )
化简可以得到：
2x2ln2=G×2x4 2 x 2 ln 2 = G × 2 x 4
所以，我们就得到了 G G ：
G=2ln2G=2ln2
接下来，我们来沿着从 Cwnd C w n d 到 PacingRate P a c i n g R a t e 这条路来再走一遍，看看求出的增益系数是不是同一个值。
我们知道，发送量的变化率其实就是发送速率，因此对 Cwnd C w n d 关于时间求导，就可以得到速率：
g(x)=f2′(x)=(2x)′=2xln2 g ( x ) = f 2 ′ ( x ) = ( 2 x ) ′ = 2 x ln 2
设 α α 为 PacingRate P a c i n g R a t e 的增益系数，则有：
g(x+1)=α×g(x)=α×2xln2 g ( x + 1 ) = α × g ( x ) = α × 2 x ln 2
经过 α α 演化的 PacingRate P a c i n g R a t e 恰好就是 f1(x+1) f 1 ( x + 1 ) 的数值：
f1(x+1)=α×g(x)=2x+1=α×2xln2 f 1 ( x + 1 ) = α × g ( x ) = 2 x + 1 = α × 2 x ln 2
所以，我们可以求出 α α 的数值：
α=2ln2 α = 2 ln 2
可以看出，这里的 PacingRate P a c i n g R a t e 的增益和前面的 Cwnd C w n d 增益在数值上是完全一致的，这也就是TCP BBR中的那个魔数 2ln2 2 ln 2 的由来。
如果你足够细心，你会发现上面的推导中有一个破绽。比如，既然 f1(x)=f2(x) f 1 ( x ) = f 2 ( x ) ，而 g(x) g ( x ) 又由 f1(x) f 1 ( x ) 求导产生， g(x) g ( x ) 和 f2(x) f 2 ( x ) 均表示 PacingRate P a c i n g R a t e 时，显然而然的是：
g(x)≠f2(x) g ( x ) ≠ f 2 ( x )
！！
其实，函数 f1 f 1 和 f2 f 2 之所以这么写是因为它们在离散的 RTT R T T 上表现得确实如此，但在实际中，速率计算， Cwnd C w n d 计算并非总是由平滑均匀的ACK事件来触发的，所以说就必须用一条光滑的曲线来尽量拟合离散的点，因此，上面的 f1(x) f 1 ( x ) ， f2(x) f 2 ( x ) 本身就不是光滑曲线，它们和 g(x) g ( x ) 本身就不是同一条曲线。
实际上， f1(x) f 1 ( x ) 和 f2(x) f 2 ( x ) 表示的均是折线，所要做的正是用光滑的曲线去拟合折线上那些离散的转折点，所以说，只能用增益系数代入去解方程，而不是直接让两个函数相等。
f1 f 1 和 f2 f 2 的图像类似下面这样：
我们再把代表 BDP B D P 的平滑拟合曲线 F(x) F ( x ) 以及代表 PacingRate P a c i n g R a t e 的平滑拟合曲线 g(x) g ( x ) 画到同一个坐标系中：
可以看得出，它们是3样不同的曲线。
不过，看起来 F(x) F ( x ) 和 g(x) g ( x ) 对离散的 f1(x) f 1 ( x ) 和 f2(x) f 2 ( x ) 拟合得并不是很理想，那为什么不直接用 f(x)=2x f ( x ) = 2 x 来拟合呢？它可是能完美拟合的吧：
或者，我们可以用二项式去拟合，用级数…
然而这些都不行。为什么呢？因为要考虑到计算，这里并不是在解一道数学题，而是要求出一个确定的常数作为增益系数 G G ，注意，是确定的常数。如果不通过积分或者求导的方式引入一个ln2ln2因子，单纯的 f(x)=2x f ( x ) = 2 x 是无法得到一个确定的常数的。
这种方法，我们感到似曾相识，TCP的拥塞控制算法，从BIC到CUBIC就是采用了这种光滑的三次曲线拟合BIC二分折线的方法，其中的那些参数也可以用类似的方法求解。
除此之外，以上推导中，下面的关系是不存在的：
f1(x+1)=α×f1(x) f 1 ( x + 1 ) = α × f 1 ( x )
f2(x+1)=α×f2(x) f 2 ( x + 1 ) = α × f 2 ( x )
为什么？因为 f1(x) f 1 ( x ) 和 f2(x) f 2 ( x ) 上的点是离散的，非连续函数在无定义的域上求值没有意义。然而ACK的到达并非以RTT为单位准点的，更有可能遭遇ACK丢失，ACK聚集等无法预知的时间，因此ACK到达是任意的，所以就必须用光滑的曲线来拟合这些离散的点，从而达到比较平滑的增益效果。
简单点说，增益系数 G G 的结果是针对光滑的拟合曲线而言的，即针对g(x)g(x)以及 F(x) F ( x ) 的，而不是针对 f1(x) f 1 ( x ) 和 f2(x) f 2 ( x ) 的。