一階系統開環傳遞函數表達式_由拉普拉斯變換到傳遞函數

拉普拉斯變換

是控制工程常用的數學工具，它除了可以很友善的求解微分方程外，還引出了經典控制理論的數學基礎——傳遞函數。

但這個變換對于初學者來說卻十分頭疼，定義複雜不說，完全看不出有什麼含義。

我們先來看下通常教材裡面是如何描述拉普拉斯變化的。

設實函數

，若滿足：

（1）當

時，

；

（2）當

時，實函數

的積分

在

的某一域内收斂。

則定義

的拉普拉斯變換為

并記作

，其中算子

是一複數。

看完上面這一段特别高深如墜雲端的描述，是不是有一種這個世界特别不真實的錯覺？好好的函數

，非要整個積分，還要帶上一個指數函數，這是炫技麼？數學家的腦洞都是怎麼開的？

莫慌，這裡我先推薦一篇文章，作者對拉普拉斯變換作了深入淺出的講解，可以加深大家對這個sao操作的了解。

https://zhuanlan.zhihu.com/p/48314585​zhuanlan.zhihu.com

簡單來說，就是叫拉普拉斯的這個人幫我們找到了一種方法，将看起來很費勁的微分算子和積分算子用我們看起來順眼的符号代替，

代替

，

代替

，然後複雜的高等函數就變成了初等函數。

有了拉氏變換就會有反變換，怎麼把替換掉的

倒騰回去就是拉氏反變換，這個公式看起來有點複雜

，記作

。是不是完全記不住？沒有關系，要進行反變換查表就可以了，如果還覺得麻煩，那就用計算機求解。（見附表2）

拉普拉斯變換在工程中有哪些實際作用？

（1）求解線性微分方程

線性微分方程

，且初始條件

，如何求y的表達式？

第一步：對微分方程兩邊進行拉普拉斯變換，得到代數方程（利用附表1的疊加定理，微分定理）

第二步：将初始條件代入，求解

第三步：求拉普拉斯反變換（依然是查附表2）

（2）引出傳遞函數

設系統的輸入量為

，輸出量為

，則它的傳遞函數是指初始條件為零時，輸出量的拉普拉斯變換式

和輸入量的拉普拉斯變換式

之比，并記作

:

隻要我們能寫出系統的微分表達式，就可以求出其傳遞函數，這樣大大友善了我們對控制系統進行數學描述。

例如常見的彈簧-品質-阻尼機械系統（M-B-K系統）：

圖中K，M，B分别為系統的彈簧剛度，品質和阻尼系數，

為輸入作用力，

為輸出位移。

由牛頓定律可得

，等式兩邊進行拉普拉斯變換即可得到系統得到傳遞函數

傳遞函數在工程模組化中經常遇到，需要牢記。

<附表1-拉普拉斯運算定理>

1.疊加定理：

2.比例定理：若

，

，則

3.微分定理： 若

，則

式子中

一般情況下，

當初始條件

時，則

4.積分定理：若

，則

，式子中

在

處的值

一般情況下，

若滿足

，則

5.位移定理：若

， 則

6.延遲定理：若

，則

7.卷積定理：若原函數是

和

的 卷積，則

這裡補充說明下何謂卷積？其實卷積就是一種運算，再次借助大神的回答來加深了解。

卷積應用相當廣泛，現在很熱門的圖像處理技術都要用到相關算法。

如何通俗易懂地解釋卷積？​www.zhihu.com

8.終值定理：若函數

及其一階導數都是可拉普拉斯變換的，則

的終值為

9.初值定理：若函數

及其一階導數都是可拉普拉斯變換的，則

的初值為

<附表2-拉普拉斯變換表>