一阶系统开环传递函数表达式_由拉普拉斯变换到传递函数

拉普拉斯变换

是控制工程常用的数学工具，它除了可以很方便的求解微分方程外，还引出了经典控制理论的数学基础——传递函数。

但这个变换对于初学者来说却十分头疼，定义复杂不说，完全看不出有什么含义。

我们先来看下通常教材里面是如何描述拉普拉斯变化的。

设实函数

，若满足：

（1）当

时，

；

（2）当

时，实函数

的积分

在

的某一域内收敛。

则定义

的拉普拉斯变换为

并记作

，其中算子

是一复数。

看完上面这一段特别高深如坠云端的描述，是不是有一种这个世界特别不真实的错觉？好好的函数

，非要整个积分，还要带上一个指数函数，这是炫技么？数学家的脑洞都是怎么开的？

莫慌，这里我先推荐一篇文章，作者对拉普拉斯变换作了深入浅出的讲解，可以加深大家对这个sao操作的理解。

https://zhuanlan.zhihu.com/p/48314585​zhuanlan.zhihu.com

简单来说，就是叫拉普拉斯的这个人帮我们找到了一种方法，将看起来很费劲的微分算子和积分算子用我们看起来顺眼的符号代替，

代替

，

代替

，然后复杂的高等函数就变成了初等函数。

有了拉氏变换就会有反变换，怎么把替换掉的

倒腾回去就是拉氏反变换，这个公式看起来有点复杂

，记作

。是不是完全记不住？没有关系，要进行反变换查表就可以了，如果还觉得麻烦，那就用计算机求解。（见附表2）

拉普拉斯变换在工程中有哪些实际作用？

（1）求解线性微分方程

线性微分方程

，且初始条件

，如何求y的表达式？

第一步：对微分方程两边进行拉普拉斯变换，得到代数方程（利用附表1的叠加定理，微分定理）

第二步：将初始条件代入，求解

第三步：求拉普拉斯反变换（依然是查附表2）

（2）引出传递函数

设系统的输入量为

，输出量为

，则它的传递函数是指初始条件为零时，输出量的拉普拉斯变换式

和输入量的拉普拉斯变换式

之比，并记作

:

只要我们能写出系统的微分表达式，就可以求出其传递函数，这样大大方便了我们对控制系统进行数学描述。

例如常见的弹簧-质量-阻尼机械系统（M-B-K系统）：

图中K，M，B分别为系统的弹簧刚度，质量和阻尼系数，

为输入作用力，

为输出位移。

由牛顿定律可得

，等式两边进行拉普拉斯变换即可得到系统得到传递函数

传递函数在工程建模中经常遇到，需要牢记。

<附表1-拉普拉斯运算定理>

1.叠加定理：

2.比例定理：若

，

，则

3.微分定理： 若

，则

式子中

一般情况下，

当初始条件

时，则

4.积分定理：若

，则

，式子中

在

处的值

一般情况下，

若满足

，则

5.位移定理：若

， 则

6.延迟定理：若

，则

7.卷积定理：若原函数是

和

的 卷积，则

这里补充说明下何谓卷积？其实卷积就是一种运算，再次借助大神的回答来加深理解。

卷积应用相当广泛，现在很热门的图像处理技术都要用到相关算法。

如何通俗易懂地解释卷积？​www.zhihu.com

8.终值定理：若函数

及其一阶导数都是可拉普拉斯变换的，则

的终值为

9.初值定理：若函数

及其一阶导数都是可拉普拉斯变换的，则

的初值为

<附表2-拉普拉斯变换表>