MATLAB實作插值和拟合

插值問題

在應用領域中，由有限個已知資料點，構造一個解析表達式，由此計算資料點之間的函數值，稱之為插值。

執行個體：海底探測問題

某公司用聲納對海底進行測試，在5×5海裡的坐标點上測得海底深度的值，希望通過這些有限的資料了解更多處的海底情況。并繪出較細緻的海底曲面圖。

一、一進制插值

一進制插值是對一進制資料點(xi,yi)進行插值。

1．  線性插值：由已知資料點連成一條折線，認為相臨兩個資料點之間的函數值就在這兩點之間的連線上。一般來說，資料點數越多，線性插值就越精确。

調用格式：yi=interp1(x,y,xi,’linear’)  %線性插值

zi=interp1(x,y,xi,’spline’)  %三次樣條插值

wi=interp1(x,y,xi,’cubic’)  %三次多項式插值

說明：yi、zi、wi為對應xi的不同類型的插值。x、y為已知資料點。

例1：已知資料：

x 0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1

y .3 .5 1 1.4 1.6 1.9 .6 .4 .8 1.5 2

求當xi=0.25時的yi的值。

程式：

x=0:.1:1;

y=[.3 .5 1 1.4 1.6 1 .6 .4 .8 1.5 2];

yi0=interp1(x,y,0.025,'linear')

xi=0:.02:1;

yi=interp1(x,y,xi,'linear');

zi=interp1(x,y,xi,'spline');

wi=interp1(x,y,xi,'cubic');

plot(x,y,'o',xi,yi,'r+',xi,zi,'g*',xi,wi,'k.-')

legend('原始點','線性點','三次樣條','三次多項式')

結果：yi0 =  0.3500

要得到給定的幾個點的對應函數值，可用：

xi =[ 0.2500  0.3500  0.4500]

yi=interp1(x,y,xi,'spline')

結果：

yi =1.2088  1.5802  1.3454

(二) 二進制插值

二進制插值與一進制插值的基本思想一緻，對原始資料點(x,y,z)構造見世面函數求出插值點資料(xi,yi,zi)。

一、單調節點插值函數，即x,y向量是單調的。

調用格式1：zi=interp2(x,y,z,xi,yi,’linear’)

‘liner’ 是雙線性插值 (預設)

調用格式2：zi=interp2(x,y,z,xi,yi,’nearest’)

’nearest’ 是最近鄰域插值

調用格式3：zi=interp2(x,y,z,xi,yi,’spline’)

‘spline’是三次樣條插值

說明：這裡x和y是兩個獨立的向量，它們必須是單調的。z是矩陣，是由x和y确定的點上的值。z和x,y之間的關系是z(i,:)=f(x,y(i)) z(:,j)=f(x(j),y) 即：當x變化時，z的第i行與y的第i個元素相關，當y變化時z的第j列與x的第j個元素相關。如果沒有對x,y指派，則預設x=1:n, y=1:m。n和m分别是矩陣z的行數和列數。

例2：已知某處山區地形選點測量坐标資料為：

x=0  0.5  1  1.5  2  2.5  3  3.5  4  4.5  5

y=0  0.5  1  1.5  2  2.5  3  3.5  4  4.5  5  5.5  6

海拔高度資料為：

z=89 90 87 85 92 91 96 93 90 87 82

   92 96 98 99 95 91 89 86 84 82 84

   96 98 95 92 90 88 85 84 83 81 85

   80 81 82 89 95 96 93 92 89 86 86

   82 85 87 98 99 96 97 88 85 82 83

   82 85 89 94 95 93 92 91 86 84 88

   88 92 93 94 95 89 87 86 83 81 92

   92 96 97 98 96 93 95 84 82 81 84

   85 85 81 82 80 80 81 85 90 93 95

   84 86 81 98 99 98 97 96 95 84 87

   80 81 85 82 83 84 87 90 95 86 88

   80 82 81 84 85 86 83 82 81 80 82

   87 88 89 98 99 97 96 98 94 92 87

其地貌圖為：

對資料插值加密形成地貌圖。

程式：

x=0:.5:5;

y=0:.5:6;

z=[89 90 87 85 92 91 96 93 90 87 82

   92 96 98 99 95 91 89 86 84 82 84

   96 98 95 92 90 88 85 84 83 81 85

   80 81 82 89 95 96 93 92 89 86 86

   82 85 87 98 99 96 97 88 85 82 83

   82 85 89 94 95 93 92 91 86 84 88

   88 92 93 94 95 89 87 86 83 81 92

   92 96 97 98 96 93 95 84 82 81 84

   85 85 81 82 80 80 81 85 90 93 95

   84 86 81 98 99 98 97 96 95 84 87

   80 81 85 82 83 84 87 90 95 86 88

   80 82 81 84 85 86 83 82 81 80 82

   87 88 89 98 99 97 96 98 94 92 87];

mesh(x,y,z)  %繪原始資料圖

xi=linspace(0,5,50);  %加密橫坐标資料到50個

yi=linspace(0,6,80);  %加密縱坐标資料到60個

[xii,yii]=meshgrid(xi,yi);  %生成網格資料

zii=interp2(x,y,z,xii,yii,'cubic');  %插值

mesh(xii,yii,zii)  %加密後的地貌圖

hold on     % 保持圖形

[xx,yy]=meshgrid(x,y);  %生成網格資料

plot3(xx,yy,z+0.1,'ob')  %原始資料用‘O’繪出

2、二進制非等距插值

調用格式：zi=griddata(x,y,z,xi,yi,’指定插值方法’)

插值方法有： linear          % 線性插值   (預設)

             bilinear     % 雙線性插值

             cubic        % 三次插值

             bicubic      % 雙三次插值

             nearest      % 最近鄰域插值

例：用随機資料生成地貌圖再進行插值

程式：

x=rand(100,1)*4-2;

y=rand(100,1)*4-2;

z=x.*exp(-x.^2-y.^2);

ti=-2:.25:2;

[xi,yi]=meshgrid(ti,ti); % 加密資料

zi=griddata(x,y,z,xi,yi);% 線性插值

mesh(xi,yi,zi)

hold on

plot3(x,y,z,'o')

拟合

簡單多項式拟合

x=[0,1,2,3,4,5,7,8,9,10]

y=[0.3 ,0.5, 1, 1.4, 1.6, 1.6, 1.4, 1.8, 1.5, 2];

aa=polyfit(x,y,2);%2的位置表示函數的最高系數，aa是函數方程

a=aa(1)%第一個參數

b=aa(2)%第二個參數

c=aa(3)%第三個參數

y=polyval(aa,x);%根據函數方程擷取的到y值

plot(x,y,'r');%r擷取的是直線，k+擷取的是點，應該使用拟合後的直線畫圖