交錯級數如何判斷收斂_級數知識點小結1-常數項級數

1. 總覽

分類

将級數的内容按上圖分類。在

常數項級數

部分，我們需要知道其

斂散性

和

審斂法

。在

函數項級數

部分，書上提到了

幂級數

和

三角級數

。幂級數部分，我們需要知道其

斂散性，審斂法，運算，将函數展開成幂級數以及函數的幂級數展開式的應用

。三角級數部分，主要是

函數展開成三角級數（即傅裡葉級數）

。

2. 常數項級數

概念

：給定一個

數列

那麼由這數列構成的表達式

叫做常數項無窮級數，簡稱常數項級數，記為

。

一般項，部分和，收斂，發散，餘項 等概念；常數項收斂級數的諸多 性質

不在此贅述，有需要的請自行查閱。

僅記錄一個

收斂的必要條件 ：如果級數

收斂，那麼它的一般項

趨于零，即

2.1 正項級數

概念

：各項都是正數或是零的級數。

正項級數收斂的充要條件

：它的部分和數列

有界。（根據單調有界的數列必有極限以及有極限的數列是有界數列的性質可知）

審斂法

：

1. 比較審斂法 設

   

   和

   

   都是 正項級數 ，且

   

   。若級數

   

   收斂，則級數

   

   收斂；反之，若級數

   

   發散，則級數

   

   發散。（因為級數的每一項同乘不為零的常數k以及去掉級數前面部分的有限項不影響級數的收斂性，可以得到一個 推論 。）
2. 比較審斂法的極限形式 設

   

   和

   

   都是 正項級數

   。

   （1）如果

   

   ，且級數

   

   收斂，那麼級數

   

   收斂；

   （2）如果

   

   或

   

   ，且級數

   

   發散，那麼級數

   

   發散
3. 比值審斂法，達朗貝爾判别法 設

   

   為 正項級數 ，如果

   

   那麼當

   

   時級數收斂，

   

   時級數發散，

   

   時級數可能收斂也可能發散。
4. 根值審斂法，柯西判别法 設

   

   為 正項級數 ，如果

   

   ，那麼當

   

   時級數收斂，

   

   時級數發散，

   

   時級數可能收斂也可能發散。
5. 極限審斂法 設

   

   為 正項級數

   。

   （1）如果

   

   （或

   

   ），那麼級數

   

   發散；

   （2）如果

   

   ，而

   

   

   ，那麼級數

   

   收斂。

   （由比較審斂法的極限形式可證）

2.2 交錯級數

概念

：各項是正負交錯的級數。

審斂法

：（

萊布尼茨定理

）如果交錯級數

滿足條件：

（1）

；

（2）

，

那麼級數收斂，且其和

，其餘項

的絕對值

。

（對于不滿足條件2的情況，舉個例子

，此時其級數不收斂。）

2.3 一般項級數

概念

：各項為任意實數。

絕對收斂

：如果級數

各項的絕對值所構成的正項級數

收斂，那麼級數

絕對收斂。

條件收斂

：如果級數

收斂，而級數

發散，那麼級數

條件收斂。

絕對收斂和條件收斂的關系

：如果級數

絕對收斂，那麼級數

必定收斂。（其實挺容易了解的，畢竟各項取絕對值求和結果都趨于某個特定值，那不取絕對值的情況下一定會趨于一個更小的值，而不是到正無窮。也到不了負無窮）

審斂法

：對于一般的級數

，如果用正項級數的審斂法判定級數

收斂，那麼此級數收斂。如果用比值審斂法或根值審斂法判定級數

發散，那麼級數

發散（因為可推知

不成立）。