交錯級數如何判斷收斂_淺談級數的重排問題

級數的重排是在學習級數時的一個難點。級數的重排定理分為兩個：第一個是關于絕對收斂的級數的重排定理，而第二個則是關于收斂，但非絕對收斂的級數的重排定理。後者也稱為

重排定理

。本文将對這兩個重排定理進行詳細的讨論，并分别給出證明。

本文是個人一些粗淺的整理，有錯誤請指正，感謝

有限級數(有限和)

交換參與有限和的數字的順序是不會導緻結果發生變換的。一種通俗的了解方式是“加法交換律”可以被有限次使用。下面我們考察有限和：

下面我們來交換一下式

中的某些項得到：

顯然，如果我們隻考察分母的話會發現，會發現這種交換其實是一個

置換

：

并且：

是以：

下面我們就對上面的例子做一下擴充。

設

是一個定義在

上的序列。對于任意的

，設

是一個雙射，則：

我們使用數學歸納法進行證明。

首先是

時的情況。此時：

則：

現在假設對于任意一個雙射

，都成立：

然後來證明對于任意一個雙射

，都成立：

對于

顯然有：

由于

是雙射，是以存在一個

，使得

。則：

現在我們定義映射

為：

于是：

則現在我們要證明的是：

而容易驗證地是，

是一個雙射。是以根據歸納假設可知

。

無窮級數

現在我們開始讨論無窮級數的情況。在開始之前我們首先需要了解一些基本概念。

設

是一個定義在

上的序列，則表達式

(或簡記為

)稱為級數。級數可以了解為有限和的極限值。我們定義一個級數

的部分和序列為：

但部分和序列

收斂的時候，我們稱級數

是收斂的。且定義：

當

時，我們稱級數

發散到

。

級數

是收斂的，當且僅當：

由級數收斂的定義可知，級數

是收斂的，當且僅當其部分和序列：

收斂。而部分和序列

收斂的等價條件是

是一個

序列。即對于所有的

，存在一個

，使得對于所有的

都有

。因為

，是以這裡我們隻需要驗證對于所有的

都有

就足夠了。而：

設

是一個定義在

上的序列，并且具有以下性質：

則級數

是收斂的。

設級數

的部分和序列為：

現在我們考察序列

與序列

：

且：

由此可知序列

是單調遞減的，而序列

是單調遞增的。現在我們來說明序列

與序列

是有界的。

由于序列

是單調遞減的，是以其最大值為

。現在我們來說明

。

由序列

的定義可知：

即無論

是偶數還是奇數，

的表達式都是一樣的。現在我們不妨将

的通項寫出來：

顯然，由于是奇數項求和，且

，則：

且成立：

是以序列

是有界的。同理，我們根據

的定義有：

即無論

是偶數還是奇數，

的表達式都是一樣的。現在我們同樣可以将

的通項寫出來：

顯然，由于是偶數項求和，且

，則：

且成立：

是以序列

是有界的。由于單調有界序列是收斂的，于是序列

與序列

都是收斂的，記它們的極限值分别為

和

。

并且我們有：

而序列

是序列

的一個子列，是以

于是

。且由于：

于是根據夾逼準則有：

級數

稱為絕對收斂的，當級數

收斂時。否則稱級數

為條件收斂的。

下面我們來看一個例子。

首先我們先來證明映射：

是一個雙射。

對于

有

，是以：

對于

有

，是以：

對于

有

，是以：

為了證明

是雙射的，必須證明

是單射且滿射的。首先我們先來說明

都是單射的。顯然，

都是單射的，因為三者均為線性關系。現在我們要說明的是

的值域兩兩之間是不交的。我們有：

即

将可以整除

的數字映射為可以整除

的數字；

将減去

之後可以整除

的數字映射為全體大于

的奇數；

将減去

之後可以整除

的數字映射為除以

餘

的數字。顯然，集合：

的交集為空集，且

的值域

的交集也是空集，是以

是單射的。

現在我們再來說明

是滿射的。對于

我們分為三種情況進行讨論。

找出一個

，使得

：

是奇數。

找出一個

，使得

：

其中

。

除以

餘

。

找出一個

，使得

：

其中

。

于是

中的每個元素都至少有一個原像，是以

是滿射的。

綜上，

是雙射的。

現在我們來考察級數：

級數

是一個交錯級數，現在我們考慮使用

判據來判斷其收斂性。其中

為：

現在我們需要驗證

是否滿足

判據的條件。

是交錯序列，滿足。

是嚴格單調遞減的，進而是單調遞減的，滿足。

因為

，是以：

滿足。

是以，由

判據可知，級數

收斂。

現在我們來證明級數：

是收斂的。其中

為式

中的

。

設

為級數

的部分和序列，即：

并且定義級數

的部分和為

，即：

定義：

則：

進而：

由于

是

的一個子列，于是

也收斂于

。則：

而

是

的一個子列，但單一子列的收斂并不能說明“父列”的收斂。是以僅由

不能推出

。但是由

我們可以知道：

收斂的等價條件是它是一個

序列。則：

現在我們不妨設

，則對于

以及

都有：

現在我們置

，則對于所有的

都有：

這是因為：

于是我們證明了

收斂于

。

顯然，當

時

與

都收斂到

，但是我們知道

是收斂到

的（對此這裡就不再讨論了，因為這又是一個不小的問題，下篇關于級數的文章再說吧），是以

與

并不會收斂到相同的值。

下面我們還需要來證明兩件事情。

設

是一個有限或可數的集合。并設

是一個函數。則級數

是絕對收斂的，當且僅當：

這裡需要分為兩種情況讨論，第一種情況是

為一有限集合的時候。此時式

顯然是成立的。現在我們來讨論

是可數集合的情況。

首先我們來證明必要性。

假設級數

是絕對收斂的，則存在一個雙射

，使得

是絕對收斂的。現在我們考察集合：

容易驗證，集合

是非空的，則由單選公理，我們可以找到一個元素

，使得：

由于

，于是

是一個有限集合，于是存在自然數的一個子集

，使得

，于是：

由于

是任意的，是以

是集合

的一個上界，是以：

然後我們來證明充分性。

假設

成立，并且假設級數

不是絕對收斂的，即級數

不是收斂的，這就說明存在一個雙射

，使得序列：

不是上有界的。即存在一個

，使得對于所有的

都有

。現在我們不妨設：

則

是有界的，且：

這意味着：

沖突。

設

是有限集合或者可數集合，設

是一個函數，且設

是絕對收斂的。則對于兩個不交集合

且

，有

是絕對收斂的，且：

這裡我們隻證明

都是可數的情況，有限集合以及混合情況留作練習。由于

是絕對收斂的，則由

可知：

于是：

這蘊含了級數

都是絕對收斂的。是以存在雙射：

使得：

都是絕對收斂的。由于

，于是我們可以設：

于是對于

，有：

現在令

可得：

即：

下面我們先來看第一個重排定理。這個重排定理告訴了我們：一個絕對收斂的級數

重排之後仍是絕對收斂的，且收斂到相同的值。

設

是一個絕對收斂的級數，并設

是一個雙射，則級數

也是絕對收斂的，且：

設

。由于級數

是絕對收斂的，則級數

是收斂的。是以我們可以找到一個

使得：

這是可能的，因為部分和序列：

而這意味着

。然後我們置：

則：

現在我們斷言，對于所有的

都有：

對于

，置：

則：

由

有：

即：

進而由一般形式的三角不等式有：

這裡我們用到了：

且是以：

這樣就證明了式

。它蘊含了級數

收斂于

。

最後我們來看到的是

重排定理。

級數

稱為

無條件收斂的

，當對于任意一個重排

，級數

都是收斂的。

設

是一個定義在

上額序列，且假設級數

是收斂的。我們置：

則

。則：

級數

是無條件收斂的，當且僅當級數

都收斂的時候。

當級數

是無條件收斂的，則對于每一個重排

都成立：

必要性：

假設

是發散的。由于

，是以

，因為上有界的單調遞增序列具有極限值(以上論述已經老掉牙了，不再贅述)。

現在設

，使得

。并假設，對于

成立的索引集合為：

設第一個使得

的索引為

。

設

，使得

。并假設，對于

成立的索引集合為：

設第二個使得

的索引為

。

設

，使得

。并假設，對于

成立的索引集合為：

設第三個使得

的索引為

。

以此類推。則得到序列：

設由原始序列到上述序列的一個重排為

，則：

因為假設是級數

是無條件收斂的，是以出現沖突。對級數

的論述也是類似的，依然使用反證法假設級數

發散。留做練習。

充分性：

設

是一個重排。因為

，則由

可知，當級數

是收斂的，則級數

也是收斂的，是以成立：

對級數

也有類似的論述，則：

由

與

式可以推得。