交错级数如何判断收敛_浅谈级数的重排问题

级数的重排是在学习级数时的一个难点。级数的重排定理分为两个：第一个是关于绝对收敛的级数的重排定理，而第二个则是关于收敛，但非绝对收敛的级数的重排定理。后者也称为

重排定理

。本文将对这两个重排定理进行详细的讨论，并分别给出证明。

本文是个人一些粗浅的整理，有错误请指正，感谢

有限级数(有限和)

交换参与有限和的数字的顺序是不会导致结果发生变换的。一种通俗的理解方式是“加法交换律”可以被有限次使用。下面我们考察有限和：

下面我们来交换一下式

中的某些项得到：

显然，如果我们只考察分母的话会发现，会发现这种交换其实是一个

置换

：

并且：

因此：

下面我们就对上面的例子做一下扩展。

设

是一个定义在

上的序列。对于任意的

，设

是一个双射，则：

我们使用数学归纳法进行证明。

首先是

时的情况。此时：

则：

现在假设对于任意一个双射

，都成立：

然后来证明对于任意一个双射

，都成立：

对于

显然有：

由于

是双射，所以存在一个

，使得

。则：

现在我们定义映射

为：

于是：

则现在我们要证明的是：

而容易验证地是，

是一个双射。因此根据归纳假设可知

。

无穷级数

现在我们开始讨论无穷级数的情况。在开始之前我们首先需要了解一些基本概念。

设

是一个定义在

上的序列，则表达式

(或简记为

)称为级数。级数可以理解为有限和的极限值。我们定义一个级数

的部分和序列为：

但部分和序列

收敛的时候，我们称级数

是收敛的。且定义：

当

时，我们称级数

发散到

。

级数

是收敛的，当且仅当：

由级数收敛的定义可知，级数

是收敛的，当且仅当其部分和序列：

收敛。而部分和序列

收敛的等价条件是

是一个

序列。即对于所有的

，存在一个

，使得对于所有的

都有

。因为

，所以这里我们只需要验证对于所有的

都有

就足够了。而：

设

是一个定义在

上的序列，并且具有以下性质：

则级数

是收敛的。

设级数

的部分和序列为：

现在我们考察序列

与序列

：

且：

由此可知序列

是单调递减的，而序列

是单调递增的。现在我们来说明序列

与序列

是有界的。

由于序列

是单调递减的，所以其最大值为

。现在我们来说明

。

由序列

的定义可知：

即无论

是偶数还是奇数，

的表达式都是一样的。现在我们不妨将

的通项写出来：

显然，由于是奇数项求和，且

，则：

且成立：

因此序列

是有界的。同理，我们根据

的定义有：

即无论

是偶数还是奇数，

的表达式都是一样的。现在我们同样可以将

的通项写出来：

显然，由于是偶数项求和，且

，则：

且成立：

因此序列

是有界的。由于单调有界序列是收敛的，于是序列

与序列

都是收敛的，记它们的极限值分别为

和

。

并且我们有：

而序列

是序列

的一个子列，因此

于是

。且由于：

于是根据夹逼准则有：

级数

称为绝对收敛的，当级数

收敛时。否则称级数

为条件收敛的。

下面我们来看一个例子。

首先我们先来证明映射：

是一个双射。

对于

有

，因此：

对于

有

，因此：

对于

有

，因此：

为了证明

是双射的，必须证明

是单射且满射的。首先我们先来说明

都是单射的。显然，

都是单射的，因为三者均为线性关系。现在我们要说明的是

的值域两两之间是不交的。我们有：

即

将可以整除

的数字映射为可以整除

的数字；

将减去

之后可以整除

的数字映射为全体大于

的奇数；

将减去

之后可以整除

的数字映射为除以

余

的数字。显然，集合：

的交集为空集，且

的值域

的交集也是空集，因此

是单射的。

现在我们再来说明

是满射的。对于

我们分为三种情况进行讨论。

找出一个

，使得

：

是奇数。

找出一个

，使得

：

其中

。

除以

余

。

找出一个

，使得

：

其中

。

于是

中的每个元素都至少有一个原像，因此

是满射的。

综上，

是双射的。

现在我们来考察级数：

级数

是一个交错级数，现在我们考虑使用

判据来判断其收敛性。其中

为：

现在我们需要验证

是否满足

判据的条件。

是交错序列，满足。

是严格单调递减的，进而是单调递减的，满足。

因为

，因此：

满足。

因此，由

判据可知，级数

收敛。

现在我们来证明级数：

是收敛的。其中

为式

中的

。

设

为级数

的部分和序列，即：

并且定义级数

的部分和为

，即：

定义：

则：

进而：

由于

是

的一个子列，于是

也收敛于

。则：

而

是

的一个子列，但单一子列的收敛并不能说明“父列”的收敛。所以仅由

不能推出

。但是由

我们可以知道：

收敛的等价条件是它是一个

序列。则：

现在我们不妨设

，则对于

以及

都有：

现在我们置

，则对于所有的

都有：

这是因为：

于是我们证明了

收敛于

。

显然，当

时

与

都收敛到

，但是我们知道

是收敛到

的（对此这里就不再讨论了，因为这又是一个不小的问题，下篇关于级数的文章再说吧），因此

与

并不会收敛到相同的值。

下面我们还需要来证明两件事情。

设

是一个有限或可数的集合。并设

是一个函数。则级数

是绝对收敛的，当且仅当：

这里需要分为两种情况讨论，第一种情况是

为一有限集合的时候。此时式

显然是成立的。现在我们来讨论

是可数集合的情况。

首先我们来证明必要性。

假设级数

是绝对收敛的，则存在一个双射

，使得

是绝对收敛的。现在我们考察集合：

容易验证，集合

是非空的，则由单选公理，我们可以找到一个元素

，使得：

由于

，于是

是一个有限集合，于是存在自然数的一个子集

，使得

，于是：

由于

是任意的，因此

是集合

的一个上界，因此：

然后我们来证明充分性。

假设

成立，并且假设级数

不是绝对收敛的，即级数

不是收敛的，这就说明存在一个双射

，使得序列：

不是上有界的。即存在一个

，使得对于所有的

都有

。现在我们不妨设：

则

是有界的，且：

这意味着：

矛盾。

设

是有限集合或者可数集合，设

是一个函数，且设

是绝对收敛的。则对于两个不交集合

且

，有

是绝对收敛的，且：

这里我们只证明

都是可数的情况，有限集合以及混合情况留作练习。由于

是绝对收敛的，则由

可知：

于是：

这蕴含了级数

都是绝对收敛的。因此存在双射：

使得：

都是绝对收敛的。由于

，于是我们可以设：

于是对于

，有：

现在令

可得：

即：

下面我们先来看第一个重排定理。这个重排定理告诉了我们：一个绝对收敛的级数

重排之后仍是绝对收敛的，且收敛到相同的值。

设

是一个绝对收敛的级数，并设

是一个双射，则级数

也是绝对收敛的，且：

设

。由于级数

是绝对收敛的，则级数

是收敛的。因此我们可以找到一个

使得：

这是可能的，因为部分和序列：

而这意味着

。然后我们置：

则：

现在我们断言，对于所有的

都有：

对于

，置：

则：

由

有：

即：

进而由一般形式的三角不等式有：

这里我们用到了：

且因此：

这样就证明了式

。它蕴含了级数

收敛于

。

最后我们来看到的是

重排定理。

级数

称为

无条件收敛的

，当对于任意一个重排

，级数

都是收敛的。

设

是一个定义在

上额序列，且假设级数

是收敛的。我们置：

则

。则：

级数

是无条件收敛的，当且仅当级数

都收敛的时候。

当级数

是无条件收敛的，则对于每一个重排

都成立：

必要性：

假设

是发散的。由于

，因此

，因为上有界的单调递增序列具有极限值(以上论述已经老掉牙了，不再赘述)。

现在设

，使得

。并假设，对于

成立的索引集合为：

设第一个使得

的索引为

。

设

，使得

。并假设，对于

成立的索引集合为：

设第二个使得

的索引为

。

设

，使得

。并假设，对于

成立的索引集合为：

设第三个使得

的索引为

。

以此类推。则得到序列：

设由原始序列到上述序列的一个重排为

，则：

因为假设是级数

是无条件收敛的，因此出现矛盾。对级数

的论述也是类似的，依然使用反证法假设级数

发散。留做练习。

充分性：

设

是一个重排。因为

，则由

可知，当级数

是收敛的，则级数

也是收敛的，因此成立：

对级数

也有类似的论述，则：

由

与

式可以推得。