[Fax J A, Murray R M. Information flow and cooperative control of vehicle formations[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2004, 35(1):1465-1476.]
Information Flow and Cooperative Control of Vehicle Formations
- Who 簡介
- Algorithm / Theorem 算法定理
- Theorem1.
- Theorem2.(Perron-Frobenius)
- Theorem3.
- Proposition 1.
- Proposition 2.
- Proposition 3.
- Proposition 4.
- Theorem 4.
- Lemma 5.
- Theorem 6.
- Theorem 7.
- Lemma 8.
- Lemma 9.
- Theorem 10.
- Theorem 11.
- Theorem 12.
- Theorem 13.
- Terminology 專業術語及解釋
- 1. aperiodic graph ---> primitive
- 2. k-periodic ---> imprimitive, or cyclic of index k
- 3. multiplicity （根的）重數
- 4. Schur transformation 舒爾分解
- 5. Stability margins 穩定裕度
- 6. Periodic
- 7. Periodicity
- 8. Symmetry
- 9. Perron disk
- 10. Aperiodicity
- 11. neutrally stable
- 12. Negative inverse 負倒數
- 13. offset
- Proof 證明
- Conclusions 亮點總結
Who 簡介
Algorithm / Theorem 算法定理
Theorem1.
有
n
n
n 階非負矩陣
A
A
A，下述 4 個條件是等價的：
-
A
A
A 是不可簡約的；
-
A
T
A^T
AT 是不可簡約的；
-
圖
G
G
G 強連通的；
-
(
I
n
+
A
)
n
−
1
>
(I_n+A)^{n−1}>0
(In+A)n−1>0。
Theorem2.(Perron-Frobenius)
令
A
A
A 是非負的，不可簡約矩陣，下述 4 個條件是真的，
ρ
(
A
)
>
\rho(A)>0
ρ(A)>0 是矩陣的譜圖半徑 (Spectral radius)：
-
ρ
(
A
)
>
\rho(A)>0
ρ(A)>0；
-
ρ
(
A
)
\rho(A)
ρ(A)是簡單特征值，那麼所有具有相等模的特征值也是簡單的；
-
矩陣有一個關于
ρ
(
A
)
\rho(A)
ρ(A) 的正特征向量
x
x
x ；
-
B
>
A
⇒
ρ
(
B
)
>
ρ
(
A
)
B>A \Rightarrow \rho(B) >\rho(A)
B>A⇒ρ(B)>ρ(A)。
更進一步，如果
A
A
A 是原始的 (primitive)，那麼矩陣
A
A
A 的所有非
ρ
(
A
)
\rho(A)
ρ(A) 特征值有嚴格小于
ρ
(
A
)
\rho(A)
ρ(A) 的模。
Theorem3.
非負、不可簡約矩陣
A
A
A，有索引為
k
k
k 的環，那麼就有
k
k
k 個模為
ρ
(
A
)
\rho(A)
ρ(A) 的特征值等于：
λ
i
=
ρ
(
A
)
e
2
π
j
k
i
,
i
=
,
⋯
,
k
−
1.
\lambda_i = \rho(A) e^{\frac{2\pi j}{k}i},\quad i=0,\cdots,k-1.
λi=ρ(A)ek2πji,i=0,⋯,k−1.
Proposition 1.
0是拉普拉斯矩陣的特征值
Proposition 2.
所有特征值都在圓心為
1
+
j
1+0j
1+0j，半徑為
1
1
1 的圓内
Proposition 3.
如果圖示強連通的，0特征值是單一的 (simple)；如果圖是周期的 (aperiodic)，所有非零特征值都位于 Perron disk 的内部；如果圖是 (k-periodic) 的，矩陣有位于 Perron disk 邊界的 k 平均排列特征值。
Proposition 4.
如果圖是無向的，所有特征值都是實數。
Theorem 4.
控制器
K
(
s
)
K(s)
K(s) 滿足以下條件時，能穩定方程（10）中的系統，
x
˙
=
P
A
x
+
P
B
u
y
=
P
C
1
x
z
=
λ
i
P
C
2
x
(14)
\begin{aligned} \dot{x} &= P_A x+P_B u\\ y &= P_{C_1}x\\ z &= \lambda_iP_{C_2}x \end{aligned} \tag{14}
x˙yz=PAx+PBu=PC1x=λiPC2x(14)
Lemma 5.
定義
X
X
X 是一個
r
×
s
r\times s
r×s 的矩陣，
Y
Y
Y 是一個
N
×
N
N\times N
N×N 的矩陣，那麼
X
^
Y
(
s
)
=
Y
(
r
)
X
^
\hat{X}Y_{(s)} = Y_{(r)} \hat{X}
X^Y(s)=Y(r)X^
Theorem 6.
假設
P
(
s
)
=
P
C
2
(
s
I
−
P
A
)
−
1
P
B
P(s) = P_{C_2} (sI-P_A)^{-1} P_B
P(s)=PC2(sI−PA)−1PB 是 SISO 系統。那麼當
K
(
s
)
P
(
s
)
K(s)P(s)
K(s)P(s) 的奈氏圖對所有特征值都不形成
−
λ
−
1
-\lambda^{-1}
−λ−1 的包圍時，控制器
K
(
s
)
K(s)
K(s) 能穩定系統。
Theorem 7.
當
ρ
(
C
(
j
ω
)
)
<
M
−
1
∀
ω
∈
(
−
∞
,
∞
)
\rho(C(j\omega)) < M^{-1}\quad \forall \omega\in(-\infty,\infty)
ρ(C(jω))<M−1∀ω∈(−∞,∞)
時，
K
(
s
)
K(s)
K(s) 能穩定 MIMO 系統
P
(
s
)
P(s)
P(s)。
Lemma 8.
G
j
=
E
+
(
G
−
E
)
j
G^{j} = E + (G-E)^j
Gj=E+(G−E)j
Lemma 9.
G
−
E
G-E
G−E 的特征值，等價于
G
G
G 的 Perron 特征值替換一個 0 特征值得到。
Theorem 10.
假設圖
G
G
G 是強連通 (strongly connected) 且非周期 (aperiodic) 的，并且輸入
y
k
y_k
yk 在有限時間固定。那麼公式（23）離散動态系統的穩态值在
p
=
p_0=0
p0=0 時等于：
p
s
s
i
=
y
i
−
∑
j
=
1
N
e
l
j
y
j
p_{ss}^{i} = y^i - \sum_{j=1}^{N} e^j_l y^j
pssi=yi−j=1∑Neljyj
這裡
e
l
i
e_l^i
eli 是
G
G
G 的左 Perron 特征向量的第
i
i
i 個元素，同比縮小為
∑
e
l
i
=
1
\sum e^i_l=1
∑eli=1。
Theorem 11.
公式（31）的系統是中立 (neutrally) 穩定的，如果傳遞函數
F
(
z
)
=
∑
j
=
R
b
j
z
R
−
j
z
R
+
1
−
∑
j
=
R
(
a
j
+
b
j
)
z
R
−
j
(32)
F(z) = \frac{\sum^R_{j=0} b_j z^{R-j}}{z^{R+1} - \sum_{j=0}^R (a_j + b_j)z^{R-j}}\tag{32}
F(z)=zR+1−∑j=0R(aj+bj)zR−j∑j=0RbjzR−j(32)
是中立 (neutrally) 穩定的，且它的奈氏圖 (Nyquist plot) 沒有對任何
L
L
L 的非零特征值負倒數形成包圍。
Theorem 12.
如果
F
(
z
)
F(z)
F(z) 在定理 11 的意義下使
L
L
L 穩定，那麼在下述假設下：
p
s
s
=
c
(
I
−
c
E
−
(
1
−
c
)
(
I
−
c
(
G
−
E
)
)
−
1
G
)
y
p_{ss} = c(I - cE - (1-c) (I-c(G-E))^{-1}G) y
pss=c(I−cE−(1−c)(I−c(G−E))−1G)y
這裡
a
=
∑
j
=
R
a
j
a=\sum_{j=0}^{R} a_j
a=∑j=0Raj，
b
=
∑
j
=
R
b
j
b=\sum_{j=0}^{R} b_j
b=∑j=0Rbj，
c
=
b
1
−
a
c=\frac{b}{1-a}
c=1−ab。
Theorem 13.
選擇
H
(
z
)
H(z)
H(z) 為
H
(
z
)
=
1
F
(
z
)
+
1
(41)
H(z) = \frac{1}{F(z)+1} \tag{41}
H(z)=F(z)+11(41)
并假設回報連接配接
P
(
z
)
P(z)
P(z) 和
K
(
z
)
K(z)
K(z) 是适定的。那麼當定理11中的
F
(
z
)
F(z)
F(z) 能穩定
L
L
L 和
K
(
z
)
K(z)
K(z) 穩定
P
(
z
)
P(z)
P(z) 時，系統是相對穩定的。
Terminology 專業術語及解釋
1. aperiodic graph —> primitive
A directed graph is aperiodic if the greatest common divisor of the lengths of its cycles is one (there is no integer k>1 that divides the length of every cycle of the graph).
如果一個有向圖的圈的是長度的最大公約數是1，那麼這個有向圖就是非周期的（不存在整數 k>1 可以除以圖的每個循環的長度）。
左邊的圖共有兩個cycles，上面的period=5，下面的period=6，是以最大公因數=1，是非周期圖 (aperiodic graph)；而右邊的圖，三個cycle的period=3，另一個period=6，是以最大公因數是3，就不是非周期圖 (aperiodic graph)
From: Fly~
2. k-periodic —> imprimitive, or cyclic of index k
3. multiplicity （根的）重數
4. Schur transformation 舒爾分解
詳見：【數理知識】第1章-矩陣的幾何理論-《矩陣論》方保镕