【高等數學】不定積分

不定積分的概念與性質

一、原函數與不定積分的概念

1. 原函數的定義

如果在區間上，可導函數的導函數為，即對任一，都有$$F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx$$那麼函數就稱為的一個原函數

原函數存在定理：如果函數在區間上連續，那麼在區間上存在可導函數，使對任一都有，簡單說，連續函數一定有原函數

2. 不定積分的定義

在區間上，函數的帶有任意項的原函數稱為在區間上的不定積分，記作$$\int f(x)dx$$其中記号稱為積分号，稱為被積函數，稱為被積表達式，稱為積分變量

3. 不定積分與原函數的關系

• 如果是在區間上的一個原函數，那麼就是的不定積分，即$$\int f(x)dx=F(x)$$
• 由于是的原函數，是以$$\frac d{dx}[\int f(x)dx]=f(x)或d[\int f(x)dx]=f(x)dx$$
• 由于是的原函數，是以$$\int F'(x)dx=F(x)+C或\int dF(x)=F(x)+C$$

二、不定積分的性質

• 設函數及的原函數存在，則$$\int[f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$$
• 設函數的原函數存在，為非零常數，則$$\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$$

三、基本積分公式

例1：求積分

例2：求積分

例3：求積分

換元積分法

一、第一類換元法

設具有原函數，，有連續的導數，則$$\int f[\phi(x)]\phi'(x)dx=\int f[\phi(x)]d\phi(x)=F(\phi(x))+C$$

例1：求

例2：求

例3：求

例4：求

沒有函數的導數等于，是以見到，一般作為整體

例5：求

、遇到奇數次方，拿出來一個湊積分；遇到偶數次方，利用公式降幂

例6：求

例7：求

例8：求

例9：求

二、第二類換元法

設函數是單調的可導的函數，并且，且有原函數，則$$\int f(x)dx\overset{x=\phi(t)}{=}\int f[\phi(t)]\phi'(t)dt$$

1. 三角換元

• 當被積函數中有，令，則
• 當被積函數中有，令，則
• 當被積函數中有，令，則

2. 根式換元

當被積函數中含有積不出來的根式，可以用根式換元。可用于，此處都可以為。見例14

3. 倒代換

當被積函數是有理式，且分母的次方數高于分子的時候（高于次及以上），可以用倒代換，令

例10：求

令

例11：求

令

例12：求

對例11的應用。注意将看做整體，也要換成

例13：求

對例2的應用

例14：求

令

三、幾個重要的推廣

分部積分法

設函數u=u(x)與v=v(x)具有連續導數，則兩個導數的公式為(uv)'=u'v+uv'，移項得$$uv'=(uv)'-u'v$$對其兩邊求不定積分得到分部積分的公式，即$$\int uv'dx=uv-\int u'vdx或\int udv=uv-\int vdu$$分部積分的方法是用于做被積函數有兩類函數的題目，按照”反對幂指三“或”反對幂三指“的順序（記住一個就行），誰靠後誰先湊微分（湊v）

例1：求

若被積函數隻有反三角函數或對數函數時，直接分部積分

例2：求

循環積分：對于被積函數有三角函數與指數函數相乘時，将誰先湊微分，就對誰一直湊微分

故

例3：求

循環積分

有理函數積分

多項式的積分

被積函數是兩個多項式的商稱為有理函數，又稱為有理分式，當分子多項式的次數小于分母多項式的次數時，稱這個有理函數為真分式，否則為假分式

做法：

1. 如果是假分式，先将假分式化為一個多項式與一個真分式加和的形式，如果被積函數是真分式，則直接進行第二步
2. 将分母因式分解，分解成兩個及以上多項式的乘積，之後将真分式拆成兩個真分式之和，即，之後分别積分

例1：求

例2：求

萬能公式

碰到被積函數隻有三角函數和常數的

令