矩陣的迹相關性質

文章目錄

• 迹的定義
• 迹的性質

• 線性函數
• 矩陣乘積的迹
• 迹的相似不變性
• 矩陣迹數和特征多項式
• 矩陣迹數與特征值

• 參考

迹的定義

線上性代數中，一個

的矩陣

的迹，是指

的主對角線(從左上方至右下方)上各個元素的和，一般記作

或

一個矩陣的迹是其特征值的總和

迹的性質

線性函數

對于任意兩個

的矩陣

和

和标量

，都有：

由于一個矩陣

與轉置矩陣

的對角線元素相同，是以任意一個矩陣和其轉置矩陣的迹相等。

矩陣乘積的迹

設

是一個

矩陣，

是

矩陣，則：

其中

是

矩陣，

是

矩陣，證明如下：

上述性質可進一步推導，對于

三個方陣，可以循環改變乘積中的順序：

注意：

如果

是同樣大小的方陣且是對稱矩陣，其乘積的迹在所有排列下都不會改變：

迹的相似不變性

如果矩陣

和

相似，它們的迹相等。

由

和

相似，存在可逆矩陣

，使得

，則有

矩陣迹數和特征多項式

一個

的方形矩陣

的特征多項式

定義為

減

倍的機關矩陣的行列式：

特征多項式是一個關于

的

次多項式，它的常數項是

的行列式的值，最高次項是

，接下來的

次項為

，則多項式：

矩陣迹數與特征值

特征多項式

有

，它可以表示為：

其中的

是特征多項式的不同的根，而

是根在特征多項式的重數，稱為代數重數。所有的代數重數加起來等于

。

我們知道，特征多項式的根就是矩陣的特征值，以及根與多項式系數的關系可以得到：特征多項式所有的根加起來等于矩陣的迹：

如果不區分特征值或者特征值不同的話，也可以寫作：

其中

是矩陣的特征值，而且有：

參考