n集合容斥定理

n(A1∪A2∪…∪Am)=∑n(Ai)1≤i≤m－∑n(Ai∩Aj)1≤i≤j≤m＋∑n(Ai∩Aj∩Ak)－…＋(-1)m-1n(A1∩A2…∩Am)1≤I,j,k≤m

注：m-1是-1的指數

這種公式的形式是很複雜的

重在了解

了解了就很好用了

甚至不用背就可以自己寫出公式來

解題的時候就得心應手

不過這個公式已經超出了高中的範疇了

高中最多也就讨論m=3的情形

用語言表達似乎很困難

就是說求幾個集合的并集可以先把他們統統加起來

但是這樣做有些地方就多加了

那麼就要減掉一些 （由公式來判斷什麼需要減去）

但是這樣做有些地方就多減了

那麼就要加上一些 （由公式來判斷什麼需要加上）

.

如此重複繼續下去

最後得到的結果就是這幾個集合的并集

舉個例子吧

集合 a1 ,a2 ,a3

a1={ 1 ,2 ,3 ,4 }

a2={ 2 ,3 ,4 ,5 }

a3={ 3 ,4 ,5 ,1 }

求三個集合的并集

按照這個公式

∑n(Ai)1≤i≤m = a1 + a2 + a3 = { 1 ,2 ,3 ,4 ,2 ,3 ,4 ,5 ,3 ,4 ,5 ,1 }

∑n(Ai∩Aj)1≤i≤j≤m = (a1∩a2 + a2∩a3 + a3∩a1) = { 2 ,3 ,4 } +{ 3 ,4 ,5 } + { 3 ,4 ,1}

∑n(Ai∩Aj∩Ak)1≤i≤j≤m = (a1∩a2∩a3) = { 3 ,4 }

代入公式

三個集合的并集= a1 + a2 + a3 - (a1∩a2 + a2∩a3 + a3∩a1) + (a1∩a2∩a3) = { 1 ,2 ,3 ,4 ,2 ,3 ,4 ,5 ,3 ,4 ,5 ,1 } - ( { 2 ,3 ,4 } +{ 3 ,4 ,5 } + { 3 ,4 ,1 } ) + ( { 3 ,4 } ) = { 1 ,2 ,3 ,4 ,5 }

以上就是這個公式的具體應用

我的表達不是很規範

但是這個公式的方法就是這樣的

重在了解

我舉的例題的答案其實可以一眼看穿

但是這個公式揭示了普遍原理,是用來解決複雜的問題的