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# 一個有趣的實驗
本文從一個有趣而詭異的實驗開始，最早這個例子是 Stackoverflow上的一個問題：
https://stackoverflow.com/questions/9314534/why-does-changing-0-1f-to-0-slow-down-performance-by-10x
為了提高可讀性，對代碼稍作修改，簡化成了以下兩段代碼：
上面兩段代碼的唯一差别就是第一段代碼中y+=0.1f，而第二段代碼中是y+=0。由于y會先加後減同樣一個數值，照理說這兩段代碼的作用和效率應該是完全一樣的,當然也是沒有任何邏輯意義的。假設現在我告訴你：其中一段代碼的效率要比另一段慢7倍。想必讀者會認為一定是y+=0.1f的那段慢，畢竟它和y+=0相比看上去要多一些運算。但是，實驗結果，卻出乎意料， y+=0的那段代碼比y+=0.1f足足慢了7倍。世界觀被颠覆了有木有？部落客是在自己的MacbookPro上進行的測試，有興趣的讀者也可以在自己的筆記本上試試。(隻要是支援SSE2指令集的CPU都會有相似的結果)。世界觀被颠覆了有木有？
部落客是在自己的Macbook Pro上進行的測試，有興趣的讀者也可以在自己的筆記本上試試。(隻要是支援SSE2指令集的CPU都會有相似的結果)。
shell> g++ code1.c -o test1shell> g++ code2.c -o test2shell> time ./test1real 0m1.490suser 0m1.483ssys 0m0.003sshell> time ./test2real 0m9.895suser 0m9.871ssys 0m0.009s本着知其然還要知其是以然的态度，部落客做了一個詳盡的分析和思路整理過程。也希望讀者能夠從0開始解釋這個詭異現象的原因。
# 複習浮點數的二進制轉換
現在讓我們複習大學計算機基礎課程，如果你熟練掌握了浮點數向二進制表達式轉換的方法，那麼你可以跳過這節。
我們先來看下浮點數二進制表達的三個組成部分。
三個主要成分是：
- Sign(1bit)：表示浮點數是正數還是負數。0表示正數，1表示負數。
- Exponent(8bits)：指數部分。類似于科學技術法中的M*10^N中的N，隻不過這裡是以2為底數而不是10。需要注意的是，這部分中是以2^7-1即127，也即01111111代表2^0，轉換時需要根據127作偏移調整。
- Mantissa(23bits)：基數部分。浮點數具體數值的實際表示。
下面我們來看個實際例子來解釋下轉換過程。
Step 1 改寫整數部分 以數值5.2為例。先不考慮指數部分，我們先單純的将十進制數改寫成二進制。整數部分很簡單，5.即101.。
Step 2 改寫小數部分 小數部分我們相當于拆成是2^-1一直到2^-N的和。
例如：0.2 = 0.125+0.0625+0.007825+0.00390625即2^-3+2^-4+2^-7+2^-8….，也即.00110011001100110011
Step 3 規格化 現在我們已經有了這麼一串二進制101.00110011001100110011。然後我們要将它規格化，也叫Normalize。
其實原理很簡單就是保證小數點前隻有一個bit。于是我們就得到了以下表示：1.0100110011001100110011 * 2^2。
到此為止我們已經把改寫工作完成，接下來就是要把bit填充到三個組成部分中去了。
Step 4 填充 指數部分(Exponent)：之前說過需要以127作為偏移量調整。是以2的2次方，指數部分偏移成2+127即129，表示成10000001填入。
整數部分(Mantissa)：除了簡單的填入外，需要特别解釋的地方是1.010011中的整數部分1在填充時被舍去了。因為規格化後的數值整部部分總是為1。
那大家可能有疑問了，省略整數部分後豈不是1.010011和0.010011就混淆了麼？
其實并不會，如果你仔細看下後者：會發現他并不是一個規格化的二進制，可以改寫成1.0011 * 2^-2。
是以省略小數點前的一個bit不會造成任何兩個浮點數的混淆。
具體填充後的結果見下圖
# 什麼是Denormalized Number
了解完浮點數的表達以後，不難看出浮點數的精度和指數範圍有很大關系。最低不能低過2^-7-1最高不能高過2^8-1(其中剔除了指數部分全0和全1的特殊情況)
如果超出表達範圍那麼不得不舍棄末尾的那些小數，我們成為overflow和underflow，甚至有時舍棄都無法表示
例如當我們要表示一個：1.00001111*2^-7這樣的超小數值的時候就無法用規格化數值表示，如果不想點其他辦法的話，CPU内部就隻能把它當做0來處理。
那麼，這樣做有什麼問題呢？最顯然易見的一種副作用就是：當多次做低精度浮點數舍棄的後，就會出現除數為0的exception，導緻異常。
當然精度失準嚴重起來也可以要人命，以下這個事件摘自wikipedia:
On 25 February 1991, a loss of significance in a MIM-104 Patriot missile battery prevented it intercepting an incoming Scud missile in Dhahran, Saudi Arabia, contributing to the death of 28 soldiers from the U.S. Army’s 14th Quartermaster Detachment.[25] See also: Failure at Dhahran
于是乎就出現了Denormalized Number(後稱非規格化浮點)。他和規格浮點的差別在于，規格浮點約定小數點前一位預設是1。而非規格浮點約定小數點前一位可以為0，這樣小數精度就相當于多了最多2^22範圍。
但是，精度的提升是有代價的。由于CPU硬體隻支援，或者預設對一個32bit的二進制使用規格化解碼。是以需要支援32bit非規格數值的轉碼和計算的話，需要額外的編碼辨別，也就是需要額外的硬體或者軟體層面的支援。
以下是wiki上的兩端摘抄，說明了非規格化計算的效率非常低。一般來說，由軟體對非規格化浮點數進行處理将帶來極大的性能損失，而由硬體處理的情況會稍好一些，但在多數現代處理器上這樣的操作仍是緩慢的。
極端情況下，規格化浮點數操作可能比硬體支援的非規格化浮點數操作快100倍。
For example when using NVIDIA’s CUDA platform, on gaming cards, calculations with double precision take 3 to 24 times longer to complete than calculations using single precision.
如果要解釋為什麼有如此大的性能損耗，那就要需要涉及電路設計了，超出了部落客的知識範圍。當然萬能的wiki也是有答案的，有興趣的讀者可以自行查閱。
# 回到實驗
總上面的分析中我們得出了以下結論：
- 浮點數表示範圍有限，精度受限于指數和底數部分的長度，超過精度的小數部分将會被舍棄(underflow)
- 為了表示更高精度的浮點數，出現了非規格化浮點數，但是他的計算成本非常高。
于是我們就可以發現通過幾十上百次的循環後，y中存放的數值無限接近于零。CPU将他表示為精度更高的非規格化浮點。
而當y+0.1f時為了保留跟重要的底數部分，之後無限接近0(也即y之前存的數值)被舍棄，當y-0.1f後，y又退化為了規格化浮點數。并且之後的每次y*x和y/z時，CPU都執行的是規劃化浮點運算。
而當y+0，由于加上0值後的y仍然可以被表示為非規格化浮點，是以整個循環的四次運算中CPU都會使用非規格浮點計算，效率就大大降低了。
# 其他
當然，也有在程式内部也是有辦法控制非規範化浮點的使用的。在相關程式的上下文中加上fesetenv(FE_DFL_DISABLE_SSE_DENORMS_ENV);就可以迫使CPU放棄使用非規範化浮點計算，提高性能。
我們用這種辦法修改上面實驗中的代碼後，y+=0的效率就和y+=0.1f就一樣了。甚至還比y+=0.1f更快了些，世界觀又端正了不是麼:) 修改後的代碼如下。