題目42
a.令 T T T是參數為 λ \lambda λ的指數随機變量； W W W為獨立于 T T T的随機變量，以機率 1 2 \frac12 21分别取值 ± 1 \pm1 ±1; 令 X = W T X=WT X=WT 證明： X X X的密度為 f X ( x ) = λ 2 e − λ ∣ x ∣ f_X(x)=\frac{\lambda}2e^{-\lambda|x|} fX(x)=2λe−λ∣x∣
b.證明:對于 某個常數 c c c, 1 2 π e − x 2 / 2 ≤ c e − ∣ x ∣ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\leq ce^{-|x|} 2π
1e−x2/2≤ce−∣x∣
解題思路
a.提示：可以把事件 { X < x } \{X<x\} {X<x} 看成是 { X < x , W = 1 } \{X<x,W=1\} {X<x,W=1}和 { X < x , W = − 1 } \{X<x,W=-1\} {X<x,W=−1}的和
F ( x ) = P ( X ≤ x , W = − 1 ) + P ( X ≤ x , W = 1 ) = P ( W T ≤ x , W = − 1 ) + P ( W T ≤ x , W = 1 ) = P ( − T ≤ x , ( W = − 1 ) + P ( T ≤ x , W = 1 ) = 1 2 P ( − T ≤ x ) + 1 2 P ( T ≤ x ) 對 于 x < 0 , P ( T ≤ x ) = 0 , 然 後 P ( − T ≤ x ) = P ( T > − x ) = 1 − P ( T ≤ − x ) = 1 − F ( − x ) = 1 − ( 1 − e − λ − x ) = e λ x 因 此 x < 0 時 P ( T ≤ x ) = 1 2 e λ x 密 度 函 數 f ( x ) = F ′ ( x ) = 1 2 λ e ( λ x ) = 1 2 λ e ( − λ ∣ x ∣ ) 對 于 x > 0 ， 時 P ( T < x ) = 1 − e − λ x P ( − T < x ) = P ( T > − x ) = 1 − P ( T < − x ) = 1 − P ( T ≤ − x ) 因 為 x 為 正 數 所 以 − x 為 負 數 , 指 數 分 布 在 負 數 上 是 0 = 1 F ( X ) = 1 2 + 1 − e − λ x f ( x ) = F ′ ( X ) = λ e − λ ∣ x ∣ \begin{aligned} F(x)&=P(X\leq x,W=-1) + P(X\leq x,W=1) \\ &=P(WT\leq x,W=-1) + P(WT \leq x,W=1)\\ &=P(-T \leq x,(W=-1) + P(T\leq x,W=1)\\ &=\frac12P(-T\leq x) +\frac12 P(T\leq x)\\ 對于x<0 ,P(T\leq x)=0 ,然後\\ P(-T\leq x ) &= P(T>-x)\\ &=1-P(T\leq -x)\\ &=1-F(-x)\\ &=1-(1-e^{-\lambda-x})\\ &=e^\lambda x\\ 是以 x<0時\\ P(T\leq x)&=\frac12e^{\lambda x}\\ 密度函數\\ f(x)&=F'(x)=\frac12\lambda e^(\lambda x)=\frac12\lambda e^(-\lambda |x|)\\ 對于x>0，時P(T<x)=1-e^{-\lambda x} \\ P(-T<x)&=P(T>-x)\\ &=1-P(T<-x)\\&=1-P(T\leq -x)\\ &因為x為正數是以-x為負數,指數分布在負數上是0\\ &=1\\ F(X)=\frac12+1-e^{-\lambda x}\\ f(x)&=F'(X)=\lambda e^{-\lambda |x|} \end{aligned} F(x)對于x<0,P(T≤x)=0,然後P(−T≤x)是以x<0時P(T≤x)密度函數f(x)對于x>0，時P(T<x)=1−e−λxP(−T<x)F(X)=21+1−e−λxf(x)=P(X≤x,W=−1)+P(X≤x,W=1)=P(WT≤x,W=−1)+P(WT≤x,W=1)=P(−T≤x,(W=−1)+P(T≤x,W=1)=21P(−T≤x)+21P(T≤x)=P(T>−x)=1−P(T≤−x)=1−F(−x)=1−(1−e−λ−x)=eλx=21eλx=F′(x)=21λe(λx)=21λe(−λ∣x∣)=P(T>−x)=1−P(T<−x)=1−P(T≤−x)因為x為正數是以−x為負數,指數分布在負數上是0=1=F′(X)=λe−λ∣x∣
b.證明對于某個常數 c c c
1 2 π e − x 2 / 2 ≤ c e − ∣ x ∣ \frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\leq ce^{-|x|} 2π
1e−x2/2≤ce−∣x∣
利用上述結果和a部分結論證明如何利用拒絕方法由标準的正态生成随機變量
首先我們估計參數c
f x ( x ) g y ( x ) = 1 2 π e − x 2 / 2 e − ∣ x ∣ = 1 2 π e ∣ x ∣ − x 2 2 當 x = 1 時 值 c 取 最 大 值 c ≈ 0.6577 \begin{aligned} \frac{f_x(x)}{g_y(x)}&=\frac{\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}}{e^{-|x|}}\\ &=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{|x|-\frac{x^2}{2}}\\ 當x=1時值 c取最大值\\ c\approx 0.6577 \end{aligned} gy(x)fx(x)當x=1時值c取最大值c≈0.6577=e−∣x∣2π
1e−x2/2=2π
1e∣x∣−2x2
步驟:
1.生産随機變量 y y y~ g y ( y ) g_y(y) gy(y)
2.生産随機變量 u u u~ U ( 0 , 1 ) U(0,1) U(0,1)
3.若 u ≤ f ( x ) c g ( x ) u\leq\frac{f(x)}{cg(x)} u≤cg(x)f(x),則接受,X=y 否則 goto 步驟 1
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